《2025年高考帮数学》

1. 如图,$\alpha\cap\beta =l,A,B\in\alpha,C\in\beta$,且$C\notin l$,直线$AB\cap l = M$,过A,B,C三点的平面记作$\gamma$,则$\gamma$与$\beta$的交线必通过　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.点A　　　　　　　　　　　　　　　
　B.点B
C.点C但不过点M　　　　　　　　　　
　D.点C和点M

答案： 1.D

2.[多选]以下说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等,则这条直线与该平面平行
B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等,则这两个平面平行
C.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面
D.不共面的四点中,任意三点都不共线

答案： 2.CD对于A,直线也可能在平面内或与平面相交;对于B,两平面也可能相交;易知C,D正确.

3.[多选]如图是一个正方体的展开图,则在这个正方体中,下列命题正确的是　　(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.AF与CN平行　　　　　　　　　　　
　B.BM与AN是异面直线
C.AF与BM是异面直线　　　　　　　　
　D.BN与DE是异面直线

答案：
3.CD　把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，
AF与CN是异面直线，故A错误;
BM与AN平行，故B错误;
BM⊂平面BCMF，F∈平面BCMF，A∉平面BCMF，F∉BM，故AF与BM是异面直线，故C正确;
DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，B∉平面ADNE，N∉DE，故BN 与DE是异面直线，故D正确.

例1　已知在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别为$D_{1}C_{1}$，$C_{1}B_{1}$的中点，$AC\cap BD = P$，$A_{1}C_{1}\cap EF = Q$.
求证:(1)$D$，$B$，$F$，$E$四点共面.
(2)若$A_{1}C$交平面$DBFE$于点$R$，则$P$，$Q$，$R$三点共线.
(3)$DE$，$BF$，$CC_{1}$三线交于一点.

答案：
高考帮
例1
(1)如图所示,连接B₁D₁.由题意知EF是△D₁B₁C₁的中位线,所以EF//B₁D₁.在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,B₁D₁//BD,所以EF//BD,所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面.
(2)记A₁,C,C₁三点确定的平面为平面α,平面BDEF为平面β.因为Q∈A₁C₁,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β = PQ.又A₁C∩β = R,所以R∈A₁C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF//BD且EF＜BD,所以DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D₁DCC₁,得M∈平面D₁DCC₁,同理,M∈平面B₁BCC₁.又平面D₁DCC₁∩平面B₁BCC₁ = CC₁,所以M∈CC₁.所以DE,BF,CC₁三线交于一点.

训练1如图，已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是棱$CC_{1}$，$AA_{1}$的中点.
(1)画出平面$BED_{1}F$与平面$ABCD$的交线，并说明理由.
(2)设$H$为直线$B_{1}D$与平面$BED_{1}F$的交点，求证：$B$，$H$，$D_{1}$三点共线.

答案：
训练1
(1)如图1所示，直线PB为平面BED₁F与平面ABCD的交线，理由如下:在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,因为DA⊂平面AA₁D₁D,D₁F⊂平面AA₁D₁D,且DA与D₁F不平行,所以在平面AA₁D₁D内分别延长D₁F,DA,则D₁F与DA必相交于一点,不妨设为点P,所以P∈AD,P∈D₁F.因为DA⊂平面ABCD,D₁F⊂平面BED₁F,所以P∈平面ABCD,P∈平面BED₁F,即P为平面ABCD和平面BED₁F的公共点.连接PB,又B为平面ABCD和平面BED₁F的公共点，所以直线PB为平面BED₁F与平面ABCD的交线.
(2)如图2所示，连接BD₁,BD,B₁D₁,在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,因为BB₁//DD₁,且BB₁ = DD₁,所以四边形BB₁D₁D为平行四边形.因为H为直线B₁D与平面BED₁F的交点，所以H∈B₁D,又B₁D⊂平面BB₁D₁D,所以H∈平面BB₁D₁D,又H∈平面BED₁F,平面BED₁F∩平面BB₁D₁D = BD₁,所以H∈BD₁,所以B,H,D₁三点共线.