《2025年高考帮数学》

训练4 向50名学生调查对A,B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的$\frac{3}{5}$，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A,B都不赞成的学生人数比对观点A,B都赞成的学生人数的$\frac{1}{3}$多1人，则对观点A,B都赞成的学生有________人.

答案：
高考帮训练421　赞成观点A的学生人数为50×$\frac{3}{5}$ = 30,赞成观点B的学生人数为30 + 3 = 33.如图,记50名学生组成的集合为U,赞成观点A的学生全体为集合A,赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A,B都赞成的学生人数为x,则对观点A,B都不赞成的学生人数为$\frac{x}{3}$ + 1,赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30 + 33 - x.依题意30 + 33 - x + $\frac{x}{3}$ + 1 = 50,解得x = 21.故对观点A,B都赞成的学生有21人.

例6 (1)[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M = {1,2,3,4,5,6}，集合A⊆M，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S，则S = ________.

答案： 高考帮例6
(1)120　由M = {1,2,3,4,5,6}得,M的非空子集A共有2⁶ - 1个,其中最小值为1的有2⁵个,最小值为2的有2⁴个,最小值为3的有2³个,最小值为4的有2²个,最小值为5的有2¹个,最小值为6的有2⁰个,故S = 2⁵×1 + 2⁴×2 + 2³×3 + 2²×4 + 2×5 + 1×6 = 120.

例6 (2)若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”. 已知集合A = {x| - t＜x＜t,t＞0}和集合B = {x|x² - x - 2＜0}，若集合A,B构成“偏食”，则实数t的取值范围为________.

答案： 高考帮
(2)(1,2)　由题意,可知集合A = {x| - t ＜ x ＜ t,t ＞ 0},集合B = {x| - 1 ＜ x ＜ 2},因为集合A,B构成“偏食”,所以$\begin{cases}t ＞ 0 \\ - t ＜ - 1 ＜ t ＜ 2\end{cases}$,解得1 ＜ t ＜ 2.所以实数t的取值范围为(1,2).

训练5 [多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] = {5n + k|n∈Z}(k = 0,1,2,3,4)，给出如下四个结论，正确结论为 ( )
A. 2023∈[3]
B. - 2∈[2]
C. Z = [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
D. 整数a,b属于同一“类”的充要条件是a - b∈[0]

答案： 高考帮训练5ACD　由2023÷5 = 404……3,得2023∈[3],故A正确; - 2 = 5×( - 1) + 3,所以 - 2∈[3],故B错误;因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类,所以Z = [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故C正确;因为整数a,b属于同一“类”,所以整数a,b被5除的余数相同,从而a - b被5除的余数为0,反之也成立,故整数a,b属于同一“类”的充要条件是a - b∈[0],故D正确.故选ACD.

1.充分条件、必要条件与充要条件
若$p\Rightarrow q$，则$p$是$q$的①______条件，$q$是$p$的②______条件
$p$是$q$的③____________条件 $p\Rightarrow q$且$p\nLeftarrow q$
$p$是$q$的④____________条件 $p\nRightarrow q$且$p\Leftarrow q$
$p$是$q$的⑤____________条件 $p\Leftrightarrow q$
$p$是$q$的⑥____________条件 $p\nRightarrow q$且$q\nRightarrow p$

答案： ①充分 ②必要 ③充分不必要 ④必要不充分 ⑤充要 ⑥既不充分也不必要