《2025年高考帮数学》

训练4 (1)已知函数$f(x)$是定义在R上的奇函数,且当$x ＞ 0$时,$f(x)=e^{x}+x^{2}+x$,则不等式$f(2 - a)+f(2a - 3)＞0$的解集为 ( )
A.$( - 1,+\infty)$
B.$(1,+\infty)$
C.$(-\infty,-1)$
D.$(-\infty,1)$
(2)[2024湖北部分重点中学联考]已知函数$y = f(x)$是R上的奇函数,$\forall x\in R$,都有$f(2 - x)=f(x)+f(2)$成立,则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots + f(2024)=$_______.

答案： 训练4
(1)B　易知$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且在$(0,+\infty)$上，$f(x)＞1$。因为$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增，且在$(-\infty,0)$上$f(x)＜-1$，故$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增。原不等式可化为$f(2 - a)＞-f(2a - 3)$，即$f(2 - a)＞f(3 - 2a)$，所以$2 - a＞3 - 2a$，故$a＞1$，选B。
(2)0　因为函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$。因为$\forall x\in\mathbf{R}$，都有$f(2 - x)=f(x)+f(2)$，所以令$x = 2$，得$f(0)=2f(2)$，得$f(2)=0$，所以$f(2 - x)=f(x)$，则函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称。因为函数$f(x)$的图象关于原点对称，所以函数$f(x)$是以4为周期的周期函数，且函数$f(x)$的图象关于点$(2,0)$中心对称，则$f(1)+f(3)=0$，又$f(2)=0$，$f(4)=f(0)=0$，所以$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$，所以$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2024)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0$。

例6　[多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则　　(　　　)
A.$f(0)=0$　　　
B.$f(1)=0$
C.$f(x)$是偶函数
D.$x = 0$为$f(x)$的极小值点

答案： 思维帮
例6 ABC 解法一 令x=y,则有$f(x^{2}) = 2x^{2}f(x)$. 当x = 0时,可得f
(0)=0,A正确. 当x = 1时,可得f
(1)=2f
(1),所以f
(1)=0,B正确. 因为$f(( - x)^{2}) = 2( - x)^{2}f( - x)$,即$f(x^{2}) = 2x^{2}f( - x)$,所以f( - x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,C正确. 因为无法判断函数f(x)的单调性,所以无法确定f(x)的极值点,故D不正确,故选ABC.
解法二 取x = y = 0,则f
(0)=0,故A正确;取x = y = 1,则f
(1)=f
(1)+f
(1),所以f
(1)=0,故B正确;取x = y = - 1,则f
(1)=f( - 1)+f( - 1),所以f( - 1)=0,取y = - 1,则f( - x)=f(x)+x²f( - 1),所以f( - x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故C正确;因为f
(0)=0,且函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,所以x = 0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,故D不正确.综上，选ABC.

例7　(1)[2022全国卷乙]已知函数$f(x)$，$g(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，且$f(x)+g(2 - x)=5$，$g(x)-f(x - 4)=7$。若$y = g(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，$g(2)=4$，则$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=$　　　　　　(　　　)
A. - 21　　　　　　　　B. - 22
C. - 23　　　　　　　　D. - 24
(2)[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，记$g(x)=f'(x)$。若$f(\frac{3}{2}-2x)$，$g(2 + x)$均为偶函数，则　　　　(　　　)
A.$f(0)=0$　　　　　　B.$g(-\frac{1}{2})=0$
C.$f(-1)=f(4)$　　　　D.$g(-1)=g(2)$

答案： 例7
(1)D 由y = g(x)的图象关于直线x = 2对称,可得g(2 + x)=g(2 - x). 在f(x)+g(2 - x)=5中,用 - x替换x,可得f( - x)+g(2 + x)=5,可得f( - x)=f(x) ①,所以y = f(x)为偶函数. 在g(x)-f(x - 4)=7中,用2 - x替换x,得g(2 - x)=f( - x - 2)+7,代入f(x)+g(2 - x)=5中,得f(x)+f( - x - 2)= - 2 ②,所以y = f(x)的图象关于点( - 1, - 1)中心对称,所以f
(1)=f( - 1)= - 1. 由①②可得f(x)+f(x + 2)= - 2,所以f(x + 2)+f(x + 4)= - 2,所以f(x + 4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 由f(x)+g(2 - x)=5可得f
(0)+g
(2)=5,又g
(2)=4,所以可得f
(0)=1,又f(x)+f(x + 2)= - 2,所以f
(0)+f
(2)= - 2,得f
(2)= - 3,又f
(3)=f( - 1)= - 1,f
(4)=f
(0)=1,所以$\sum_{k = 1}^{22}f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)= - 24$. 故选D.
(2)BC 解法一(转化法) 因为$f(\frac{3}{2}-2x)$为偶函数,所以$f(\frac{3}{2}-2x)=f(\frac{3}{2}+2x)$,函数f(x)的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,则f( - 1)=f
(4),所以C正确;因为g(2 + x)为偶函数,所以g(2 + x)=g(2 - x),函数g(x)的图象关于直线x = 2对称,因为g(x)=f'(x),所以函数g(x)的图象关于点$(\frac{3}{2},0)$对称,(二级结论:若函数h(x)为偶函数,则其图象上在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数,即其导函数的图象关于原点对称. 本题函数f(x)的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,则其导函数g(x)的图象关于点$(\frac{3}{2},0)$对称)
因为g(x)的定义域为R,所以$g(\frac{3}{2}) = 0$. 由g(x)的图象既关于直线x = 2对称,又关于点$(\frac{3}{2},0)$对称,知g(x)的周期$T = 4\times(2-\frac{3}{2}) = 2$,所以$g( - \frac{1}{2}) = g(\frac{3}{2}) = 0,g( - 1)=g(1)= - g(2)$,所以B正确,D错误;不妨取f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,则f
(0)=1,所以选项A不正确. 综上,选BC.
解法二(特例法) 因为$f(\frac{3}{2}-2x),g(2 + x)$均为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,函数g(x)的图象关于直线x = 2对称. 取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R),则f
(0)=1,排除A;取符合题意的一个函数f(x)=sin πx,则f'(x)=πcos πx,即g(x)=πcos πx,所以g( - 1)=πcos( - π)= - π,g
(2)=πcos 2π = π,所以g( - 1)≠g
(2),排除D. 又该题为多选题,选BC.

例8　定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y\in\mathbf{R})$，$f(1)=2$，则$f(-3)=$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 2　　　　　　　　
　B. 3
C. 6　　　　　　　　　
　D. 9

答案： 例8 C 解法一 由函数f(x)满足f(x + y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),联想到函数模型$f(x)=x^{2}+bx$,由f
(1)=2,可得b = 1,则$f(x)=x^{2}+x$,所以$f( - 3)=( - 3)^{2}+( - 3)=6$.
解法二 f
(1)=f(1 + 0)=f
(1)+f
(0)+2×1×0=f
(1)+f
(0),得f
(0)=0;f
(0)=f( - 1 + 1)=f( - 1)+f
(1)+2×( - 1)×1=f( - 1)+2 - 2=f( - 1),得f( - 1)=0;f( - 2)=f( - 1 - 1)=f( - 1)+f( - 1)+2×( - 1)×( - 1)=2f( - 1)+2=2;f( - 3)=f( - 2 - 1)=f( - 2)+f( - 1)+2×( - 2)×( - 1)=2 + 0+4=6. 故选C.