《2025年高考帮数学》

例4 （1）[2024湘豫名校联考]已知函数f(x) = log₂|x| + x²，则不等式f(ln x) + f(-ln x) ＜ 2的解集为 （ ）
A.($\frac{1}{e}$，1) B.($\frac{1}{e}$，e)
C.(1，e) D.($\frac{1}{e}$，1)∪(1，e)
（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x = 4^log₆x - 9^log₆x，y = 9^log₆y + 6^log₆y，则$\frac{x}{y}$的值为（ ）
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C.$\sqrt{5}$ + 1 D.$\sqrt{5}$ - 1

答案：
(1)D 由题可知函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，$\because\ln x\neq0$。$\because f(-x)=\log _{2}\vert - x\vert+(-x)^{2}=\log _{2}\vert x\vert+x^{2}=f(x)$，$\therefore f(x)$是偶函数，$\therefore$由$f(\ln x)+f(-\ln x)\lt2$可得$2f(\ln x)\lt2$，即$f(\ln x)\lt1$。当$x\gt0$时，$f(x)=\log _{2}x+x^{2}$。$\because y=\log _{2}x$和$y = x^{2}$在$(0,+\infty)$上都是单调递增的，$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$f(1)=1$，$\therefore\vert\ln x\vert\lt1$且$\ln x\neq0$，$\therefore\frac{1}{e}\lt x\lt e$且$x\neq1$，所以原不等式的解集为$(\frac{1}{e},1)\cup(1,e)$。故选D。
(2)B 令$\log _{6}x = m$，$\log _{4}y = n$，则$x = 6^{m}$，$y = 4^{n}$。由$x = 4^{\log _{6}x}-9^{\log _{6}x}$，$y = 9^{\log _{4}y}+6^{\log _{4}y}$可得$6^{m}=4^{m}-9^{m}$，$4^{n}=9^{n}+6^{n}$，进而可得$(\frac{3}{2})^{m}=1 - (\frac{3}{2})^{2m}$，故$(\frac{3}{2})^{m}+(\frac{3}{2})^{2m}=1$，同理得$(\frac{3}{2})^{2n}+(\frac{3}{2})^{n}=1$，所以$(\frac{3}{2})^{m}$与$(\frac{3}{2})^{n}$均为方程$t^{2}+t - 1 = 0$的实数根，由$t^{2}+t - 1 = 0$，解得$t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，因为$(\frac{3}{2})^{m}\gt0$，$(\frac{3}{2})^{n}\gt0$，所以$(\frac{3}{2})^{m}=(\frac{3}{2})^{n}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。由于函数$y = (\frac{3}{2})^{x}$为增函数，所以$m = n$，$\frac{x}{y}=\frac{6^{m}}{4^{n}}=(\frac{3}{2})^{m}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，故选B。

例5 （1）[全国卷Ⅱ]设函数f(x) = ln|2x + 1| - ln|2x - 1|，则f(x) （ ）
A.是偶函数，且在($\frac{1}{2}$，+∞)单调递增
B.是奇函数，且在(-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$)单调递减
C.是偶函数，且在(-∞，-$\frac{1}{2}$)单调递增
D.是奇函数，且在(-∞，-$\frac{1}{2}$)单调递减
（2）[全国卷Ⅰ]若2ᵃ + log₂a = 4ᵇ + 2log₄b，则 （ ）
A.a ＞ 2b B.a ＜ 2b
C.a ＞ b² D.a ＜ b²

答案：
(1)D 由$\begin{cases}2x + 1\neq0\\2x - 1\neq0\end{cases}$，得函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，其关于原点对称，因为$f(-x)=\ln\vert2(-x)+1\vert-\ln\vert2(-x)-1\vert=\ln\vert2x - 1\vert-\ln\vert2x + 1\vert=-f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，排除A，C。当$x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$时，$f(x)=\ln(2x + 1)-\ln(1 - 2x)$，易知函数$f(x)$单调递增，排除B。当$x\in(-\infty,-\frac{1}{2})$时，$f(x)=\ln(-2x - 1)-\ln(1 - 2x)=\ln\frac{2x + 1}{2x - 1}=\ln(1+\frac{2}{2x - 1})$，易知函数$f(x)$单调递减，故选D。
(2)B 令$f(x)=2^{x}+\log _{2}x$，因为$y = 2^{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增，$y=\log _{2}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)=2^{x}+\log _{2}x$在$(0,+\infty)$上单调递增。又$2^{a}+\log _{2}a = 4^{b}+2\log _{4}b = 2^{2b}+\log _{2}b\lt2^{2b}+\log _{2}(2b)$，所以$f(a)\lt f(2b)$，所以$a\lt2b$。故选B。

训练3 （1）[2024河南名校联考]“a ≤ 2”是“函数f(x) = ln(x² - ax + $\frac{1}{2}$)在区间(2，+∞)上单调递增”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a = log₆4，b = log₅3，c = log₇6，则 （ ）
A.a ＜ b ＜ c B.b ＜ a ＜ c
C.b ＜ c ＜ a D.c ＜ a ＜ b
（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f(x) = lg$\frac{1 + kx}{1 + x}$(k ≠ 1)，则不等式-1 ＜ f(x) ＜ lg$\frac{1}{2}$的解集为________.

答案：
(1)A 二次函数$y = x^{2}-ax+\frac{1}{2}$图象的对称轴为$x=\frac{a}{2}$，若函数$f(x)=\ln(x^{2}-ax+\frac{1}{2})$在区间$(2,+\infty)$上单调递增，则根据复合函数的单调性可得$\begin{cases}\frac{a}{2}\leqslant2\\4 - 2a+\frac{1}{2}\geqslant0\end{cases}$，即$a\leqslant\frac{9}{4}$，故“$a\leqslant2$”是“函数$f(x)=\ln(x^{2}-ax+\frac{1}{2})$在区间$(2,+\infty)$上单调递增”的充分不必要条件。故选A。
(2)B 由题意得$a,b,c\in(0,1)$，$\because\log _{6}4\cdot\log _{6}7\lt(\frac{\log _{6}4+\log _{6}7}{2})^{2}=(\frac{\log _{6}28}{2})^{2}\lt1$，$\therefore\log _{6}4\lt\frac{1}{\log _{6}7}=\log _{7}6$，即$a\lt c$。$\because a=\log _{6}4=\log _{6}\sqrt[6]{256}\gt\log _{6}\sqrt[6]{216}=\frac{3}{4}$，$b=\log _{5}3=\log _{5}\sqrt[4]{81}\lt\log _{5}\sqrt[4]{125}=\frac{3}{4}$，$\therefore a\gt b$。综上所述，可得$b\lt a\lt c$。故选B。
(3)$(\frac{1}{3},\frac{9}{11})$ 因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)+f(x)=\lg\frac{1 - kx}{1 - x}+\lg\frac{1 + kx}{1 + x}=\lg\frac{1 - k^{2}x^{2}}{1 - x^{2}}=0$，所以$k^{2}=1$。因为$k\neq1$，所以$k = - 1$，则由$-1\lt f(x)\lt\lg\frac{1}{2}$，得$\lg\frac{1}{10}\lt\lg\frac{1 - x}{1 + x}\lt\lg\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{10}\lt\frac{1 - x}{1 + x}\lt\frac{1}{2}$，解得$\frac{1}{3}\lt x\lt\frac{9}{11}$。