《2025年高考帮数学》

例3 （1）[山东高考]设$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0 ＜ x ＜ 1,\\2(x - 1),x\geq1.\end{cases}$若$f(a)=f(a + 1)$，则$f(\frac{1}{a})=$（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案：
C 作出$f(x)$的图象，如图所示，因为$a\lt a + 1$，所以要使$f(a)=f(a + 1)$，则有$\sqrt{a}=2(a + 1 - 1)$，$0\lt a\lt1$，所以解得$a=\frac{1}{4}$，所以$f(\frac{1}{a})=f(4)=6$。

（2）[2022浙江高考]已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^2 + 2,x\leq1,\\x+\frac{1}{x}-1,x ＞ 1,\end{cases}$则$f(f(\frac{1}{2})) =$________；若当$x\in[a,b]$时，$1\leq f(x)\leq3$，则$b - a$的最大值是________.

答案：
$\frac{37}{28}$ $3+\sqrt{3}$ 由题意知$f(\frac{1}{2})=-(\frac{1}{2})^2+2=\frac{7}{4}$，则$f(f(\frac{1}{2}))=f(\frac{7}{4})=\frac{7}{4}+\frac{1}{\frac{7}{4}}-1=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$。作出函数$f(x)$的大致图象，如图所示，结合图象，令$-x^2+2 = 1$，解得$x=\pm1$；令$x+\frac{1}{x}-1 = 3$，解得$x = 2\pm\sqrt{3}$，又$x\gt1$，所以$x = 2+\sqrt{3}$。所以$(b - a)_{max}=2+\sqrt{3}-(-1)=3+\sqrt{3}$。

例4 [全国卷Ⅰ]设函数$f(x)=\begin{cases}2^{-x},x\leq0,\\1,x ＞ 0,\end{cases}$则满足$f(x + 1) ＜ f(2x)$的$x$的取值范围是（ ）
A.$(-\infty,-1]$
B.$(0,+\infty)$
C.$(-1,0)$
D.$(-\infty,0)$

答案：
D 解法一 当$x\leq0$时，函数$f(x)=2^{-x}$是减函数，则$f(x)\geq f(0)=1$。作出$f(x)$的大致图象如图所示，结合图象可知，要使$f(x + 1)\lt f(2x)$，则需$\begin{cases}x + 1\lt0\\2x\lt0\\2x\lt x + 1\end{cases}$或$\begin{cases}x + 1\geq0\\2x\lt0\end{cases}$，所以$x\lt0$，故选D。

解法二 当$x=-\frac{1}{2}$时，$f(x + 1)=f(\frac{1}{2})=1$，$f(2x)=f(-1)=2^{-(-1)}=2$，满足$f(x + 1)\lt f(2x)$，排除A，B；当$x=-1$时，$f(x + 1)=f(0)=2^0=1$，$f(2x)=f(-2)=2^2=4$，满足$f(x + 1)\lt f(2x)$，排除C。故选D。

训练3 （1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数$a ＜ 0$，函数$f(x)=\begin{cases}2x + a,x ＜ 1,\\-x - 2a,x\geq1,\end{cases}$若$f(1 - a)=f(1 + a)$，则$a$的值为（ ）
A.$-\frac{3}{4}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-1$

答案： A 因为$a\lt0$，所以$1 - a\gt1$，$1 + a\lt1$。因为$f(1 - a)=f(1 + a)$，所以$-(1 - a)-2a=2(1 + a)+a$，解得$a=-\frac{3}{4}$。故选A。

（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数$f(x)=\begin{cases}e^{x - 1},x\leq2,\\2f(x - 2),x ＞ 2,\end{cases}$则$f(7) =$________.

答案： 8 由题意得$f(7)=2f(5)=2\times2f(3)=4\times2f(1)=8e^{1 - 1}=8$。

（3）[2023江苏南通模拟]已知函数$f(x)=\max\{1 - x,2^x\}$，其中$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大者. 则不等式$f(x) ＞ 4$的解集为________.

答案：
$(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$ 作出$f(x)$的大致图象如图所示，结合图象可知$f(x)=\begin{cases}1 - x,x\leq0\\2^x,x\gt0\end{cases}$，当$x\leq0$时，由$1 - x\gt4$，得$x\lt - 3$。当$x\gt0$时，由$2^x\gt4$，得$x\gt2$，所以$f(x)\gt4$的解集为$(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$。

1.函数的单调性

答案： ①$f(x_{1})＜f(x_{2})$
@@②$f(x_{1})＞f(x_{2})$
@@③上升
@@④下降