《2025年高考帮数学》

例4　(1)若sin2α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,sin(β−α)=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,且α∈[$\frac{\pi}{4}$,π],β∈[π,$\frac{3\pi}{2}$],则α + β的值是　　　(　　　)
A.$\frac{7\pi}{4}$　　　　　　　　B.$\frac{9\pi}{4}$
C.$\frac{5\pi}{4}$或$\frac{7\pi}{4}$　　　　　　D.$\frac{5\pi}{4}$或$\frac{9\pi}{4}$
　(2)已知α,β为锐角,且(1−√3tanα)(1−√3tanβ)=4,则α + β=________.

答案：
(1)A　因为$\alpha\in[\frac{\pi}{4},\pi]$，所以$2\alpha\in[\frac{\pi}{2},2\pi]$. 又$\sin2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$2\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，所以$\cos2\alpha=-\sqrt{1 - \sin^{2}2\alpha}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 因为$\beta\in[\pi,\frac{3\pi}{2}]$，所以$\alpha+\beta\in(\frac{5\pi}{4},2\pi)$，$\beta-\alpha\in(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4})$，所以$\cos(\beta-\alpha)=-\sqrt{1 - \sin^{2}(\beta-\alpha)}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，所以$\cos(\alpha+\beta)=\cos[2\alpha+(\beta-\alpha)]=\cos2\alpha\cos(\beta-\alpha)-\sin2\alpha\cdot\sin(\beta-\alpha)=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\times(-\frac{3\sqrt{10}}{10})-\frac{\sqrt{5}}{5}\times\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 又$\alpha+\beta\in(\frac{5\pi}{4},2\pi)$，所以$\alpha+\beta=\frac{7\pi}{4}$.
(2)$\frac{2\pi}{3}$　将$(1-\sqrt{3}\tan\alpha)(1-\sqrt{3}\tan\beta)=4$展开，得$-\sqrt{3}(\tan\alpha+\tan\beta)=3(1 - \tan\alpha\cdot\tan\beta)$，即$\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}=\tan(\alpha+\beta)=-\sqrt{3}$，由于$\alpha,\beta$为锐角，所以$0\lt\alpha+\beta\lt\pi$，故$\alpha+\beta=\frac{2\pi}{3}$.

训练2　(1)[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜β＜α＜$\frac{\pi}{2}$,且cos(α−β)=$\frac{12}{13}$,cos2β=$\frac{3}{5}$,则cos(α + β)=　　　　　　(　　　)
A.$\frac{16}{65}$　　　　　　　　B.$\frac{33}{65}$
C.$\frac{56}{65}$　　　　　　　　D.$\frac{63}{65}$
(2)[2024河南省南阳市第一中学质量评估]已知tanα=$\frac{1}{7}$,sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,α,β∈(0,$\frac{\pi}{2}$),则α + 2β=________.
(3)(1 + tan20°)(1 + tan25°)=________.

答案：
(1)A　由$0\lt\beta\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$，得$0\lt\alpha-\beta\lt\frac{\pi}{2}$，又$\cos(\alpha-\beta)=\frac{12}{13}$，所以$\sin(\alpha-\beta)=\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^{2}}=\frac{5}{13}$，因为$0\lt2\beta\lt\pi$，$\cos2\beta=\frac{3}{5}$，所以$\sin2\beta=\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$，所以$\cos(\alpha+\beta)=\cos[(\alpha-\beta)+2\beta]=\cos(\alpha-\beta)\cos2\beta-\sin(\alpha-\beta)\sin2\beta=\frac{12}{13}\times\frac{3}{5}-\frac{5}{13}\times\frac{4}{5}=\frac{16}{65}$. 故选A.
(2)$\frac{\pi}{4}$　因为$\tan\alpha=\frac{1}{7}$，$\alpha$是锐角，所以$0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{4}$，因为$\sin\beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\beta$为锐角，所以$0\lt\beta\lt\frac{\pi}{4}$，$0\lt\alpha + 2\beta\lt\frac{3\pi}{4}$，因为$\sin\beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$，所以$\cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\tan\beta=\frac{1}{3}$，则$\tan2\beta=\frac{2\tan\beta}{1 - \tan^{2}\beta}=\frac{2\times\frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=\frac{3}{4}$，$\tan(\alpha + 2\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1 - \tan\alpha\tan2\beta}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7}\times\frac{3}{4}}=1$，故$\alpha + 2\beta=\frac{\pi}{4}$.
(3)2　由题意知，$(1 + \tan20^{\circ})(1 + \tan25^{\circ})=1+\tan20^{\circ}+\tan25^{\circ}+\tan20^{\circ}\tan25^{\circ}$. 因为$\tan20^{\circ}+\tan25^{\circ}=\tan45^{\circ}(1 - \tan20^{\circ}\tan25^{\circ})=1 - \tan20^{\circ}\tan25^{\circ}$，所以$(1 + \tan20^{\circ})(1 + \tan25^{\circ})=1 + 1-\tan20^{\circ}\tan25^{\circ}+\tan20^{\circ}\tan25^{\circ}=2$.

在正弦函数$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的图象上,起关键作用的五个点是$(0,0),(\frac{\pi}{2},1)$,①____,$(\frac{3\pi}{2},-1)$,②____.
在余弦函数$y = \cos x,x\in[0,2\pi]$的图象上,起关键作用的五个点是$(0,1),(\frac{\pi}{2},0)$,③____,$(\frac{3\pi}{2},0)$,④____.
五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意光滑).

答案： ①$(\pi,0)$　②$(2\pi,0)$　③$(\pi,-1)$　④$(2\pi,1)$