《2025年高考帮数学》

3. [多选]以下函数为偶函数的是（ ）
A. $f(x)=x^{2}-1$
B. $f(x)=x^{2}$
C. $f(x)=x^{2}+\cos x$
D. $f(x)=\frac{1}{x}+|x|$

答案： 3.AC

4. 已知函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x＜0$时，$f(x)=x(x - 1)$，则当$x＞0$时，$f(x)=$______.

答案： 4.$x(x + 1)$

5. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)=f(x - 2)$，当$x\in[0,2)$时，$f(x)=x^{2}-4x$，则当$x\in[4,6)$时，$f(x)=$______.

答案： 5.$x^{2}-12x + 32$ 设$x\in[4,6)$，则$x - 4\in[0,2)$，则$f(x - 4)=(x - 4)^{2}-4(x - 4)=x^{2}-12x + 32$. 又$f(x)=f(x - 2)$，所以函数$f(x)$的周期为 2，所以$f(x - 4)=f(x)$，所以当$x\in[4,6)$时，$f(x)=x^{2}-12x + 32$.

6. [2024 北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若$f(x)=\begin{cases}x + a,x＜0\\bx - 1,x＞0\end{cases}$是奇函数，则$a =$______，$b =$______.

答案： 6.1 1 由$f(x)$为奇函数，知$f( -x)=-f(x)$，当$x＞0$时，可得$-x + a=-bx + 1$，所以$b = 1$，$a = 1$.

例1 (1)[全国卷Ⅰ]设函数$f(x),g(x)$的定义域都为R,且$f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.$f(x)g(x)$是偶函数
B.$f(x)|g(x)|$是奇函数
C.$|f(x)|g(x)$是奇函数
D.$|f(x)g(x)|$是奇函数
(2)[2021全国卷乙]设函数$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$,则下列函数中为奇函数的是 ( )
A.$f(x - 1) - 1$
B.$f(x - 1) + 1$
C.$f(x + 1) - 1$
D.$f(x + 1) + 1$

答案： 高考帮
例1
(1)B　因为$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，所以$f(x)g(x)$为奇函数，$f(x)|g(x)|$为奇函数，$|f(x)|g(x)$为偶函数，$|f(x)g(x)|$为偶函数，故选B.
(2)B　解法一　因为$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，所以$f(x - 1)=\frac{1 - (x - 1)}{1 + (x - 1)}=\frac{2 - x}{x}$，$f(x + 1)=\frac{1 - (x + 1)}{1 + (x + 1)}=\frac{-x}{x + 2}$。
对于A，$F(x)=f(x - 1)-1=\frac{2 - x}{x}-1=\frac{2 - 2x}{x}$，定义域关于原点对称，但不满足$F(x)=-F(-x)$；
对于B，$G(x)=f(x - 1)+1=\frac{2 - x}{x}+1=\frac{2}{x}$，定义域关于原点对称，且满足$G(x)=-G(-x)$；
对于C，$f(x + 1)-1=\frac{-x}{x + 2}-1$，定义域不关于原点对称；
对于D，$f(x + 1)+1=\frac{-x}{x + 2}+1$，定义域不关于原点对称。
故选B。
解法二　$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}=\frac{2 - (x + 1)}{1 + x}=\frac{2}{1 + x}-1$，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数$y = f(x)$的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为$y = f(x - 1)+1$，故选B。

例2 (1)[2023新高考卷Ⅲ]若$f(x)=(x + a)\cdot\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数,则$a =$ ( )
A. -1
B.0
C.$\frac{1}{2}$
D.1
(2)[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数$f(x),g(x)$分别是奇函数和偶函数,且$f(x)+g(x)=x^{2}-2x$,则$f(2)+g(1)=$_______.

答案： 例2
(1)B　解法一　设$g(x)=\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，易知$g(x)$的定义域为$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，且$g(-x)=\ln\frac{-2x - 1}{-2x + 1}=\ln\frac{2x + 1}{2x - 1}=-\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}=-g(x)$，所以$g(x)$为奇函数。若$f(x)=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$y = x + a$应为奇函数，所以$a = 0$，故选B。
解法二　因为$f(x)=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，$f(-1)=(a - 1)\ln3$，$f(1)=(a + 1)\ln\frac{1}{3}=-(a + 1)\ln3$，所以$(a - 1)\ln3=-(a + 1)\ln3$，解得$a = 0$，经检验，满足题意，故选B。
(2)$-3$　由$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，得$f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$，$\because f(x)+g(x)=x^{2}-2x$，$\therefore f(-x)+g(-x)=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x$，即$-f(x)+g(x)=x^{2}+2x$，则有$f(x)=-2x$，$g(x)=x^{2}$，则$f(2)+g(1)=-4 + 1=-3$。

训练1 (1)[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中,既是偶函数又在$(0, +\infty)$上单调递增的是 ( )
A.$f(x)=x\ln x$
B.$f(x)=\ln( - x+\sqrt{x^{2}+1})$
C.$f(x)=e^{x}+e^{-x}$
D.$f(x)=e^{x}-e^{-x}$
(2)[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数$f(x)$,当$x\geq0$时,$f(x)=2^{x}-a\cdot3^{-x}$,当$x ＜ 0$时,$f(x)=$_______.

答案： 训练1
(1)C　对于A，因为$f(x)=x\ln x$的定义域为$(0,+\infty)$，不关于原点对称，所以$f(x)=x\ln x$不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为$f(x)=\ln(-x+\sqrt{x^{2}+1})$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，$f(x)+f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^{2}+1})+\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})=\ln1 = 0$，所以$f(x)=\ln(-x+\sqrt{x^{2}+1})$是奇函数，故B选项不符合题意；对于C，因为$f(x)=e^{x}+e^{-x}$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且$f(-x)=e^{-x}+e^{x}=f(x)$，所以$f(x)=e^{x}+e^{-x}$是偶函数。$f^{\prime}(x)=e^{x}-e^{-x}$，当$x\in(0,+\infty)$时，有$e^{x}＞e^{0}=1＞e^{-x}$，则$f^{\prime}(x)=e^{x}-e^{-x}＞0$，所以$f(x)=e^{x}+e^{-x}$在$(0,+\infty)$上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为$f(x)=e^{x}-e^{-x}$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，但$f(-x)=e^{-x}-e^{x}=-(e^{x}-e^{-x})=-f(x)$，所以$f(x)=e^{x}-e^{-x}$是奇函数，故D选项不符合题意。故选C。
(2)$3^{x}-2^{-x}$　因为函数$f(x)$为奇函数，定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(0)=2^{0}-a\times3^{0}=0$，解得$a = 1$。若$x＜0$，则$-x＞0$，所以$f(-x)=2^{-x}-3^{x}$，又$f(x)$为奇函数，所以当$x＜0$时，$f(x)=-f(-x)=3^{x}-2^{-x}$，即当$x＜0$时，$f(x)=3^{x}-2^{-x}$。