《2025年高考帮数学》

例3 如图，长方形$ABCD$的边$AB = 2$,$BC = 1$,$O$是$AB$的中点.点$P$沿着边$BC$,$CD$与$DA$运动，记$\angle BOP = x$.将动点$P$到$A$,$B$两点的距离之和表示为$x$的函数$f(x)$，则$y = f(x)$的图象大致为
( )
　
　

答案： 例3B　由题易知$f(0)=2$，$f(\frac{\pi}{4})=1+\sqrt{5}$，$f(\frac{\pi}{2})=2\sqrt{2}＜f(\frac{\pi}{4})$，可排除选项C，D；当点$P$在边$BC$上时，$f(x)=BP + AP=\tan x+\sqrt{4+\tan^{2}x}(0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{4})$，不难发现$f(x)$的图象是非线性的，排除选项A，故选B.

训练2 (1)[2024重庆七校联考]函数$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\cos(\frac{\pi}{2}+x)$的部分图象大致是
( )
　
(2)如图，不规则四边形$ABCD$中，$AB$和$CD$是线段，$AD$和$BC$是圆弧，直线$l\perp AB$于$E$，当$l$从左至右平行移动(与线段$AB$有公共点)时，$l$把四边形$ABCD$分成两部分.设$AE = x$,$l$左侧的面积为$y$，则$y$关于$x$的图象大致是( )

答案： 训练2
(1)C　因为$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\cos(\frac{\pi}{2}+x)=\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\cdot\sin x$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=\frac{1 - e^{-x}}{e^{-x}+1}\cdot\sin(-x)=-\frac{e^{x}(1 - e^{-x})}{e^{x}(e^{-x}+1)}\cdot\sin x=\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\cdot\sin x=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数，图象关于$y$轴对称，排除B，D；当$0＜x＜\pi$时，$\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}＜0$，$\sin x＞0$，所以$f(x)=\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\cdot\sin x＜0$，故选项A错误，选项C正确.故选C.
(2)C　当$l$从左至右移动时，一开始$l$左侧面积的增加速度越来越快，过了$D$点后$l$左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了$C$点后$l$左侧面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.

例4 已知函数$f(x)=x|x|-2x$，则下列结论正确的是
( )
A.$f(x)$是偶函数，递增区间是$(0,+\infty)$
B.$f(x)$是偶函数，递减区间是$(-\infty,1)$
C.$f(x)$是奇函数，递减区间是$(-1,1)$
D.$f(x)$是奇函数，递增区间是$(-\infty,0)$

答案：
例4　C　由题意得$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x,x\geqslant0,\\-x^{2}-2x,x＜0,\end{cases}$画出函数$f(x)$的图象，如图所示，观察图象可知，函数$f(x)$的图象关于原点对称，故函数$f(x)$为奇函数，且在$(-1,1)$上单调递减.故选C.

例5 (1)[北京高考]已知函数$f(x)=2^{x}-x - 1$，则不等式$f(x)＞0$的解集是
( )
A.$(-1,1)$　　　　　B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
C.$(0,1)$　　　　　　D.$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$
(2)设$f(x)=|\lg(x - 1)|$，若$1 ＜ a ＜ b$且$f(a)=f(b)$，则$ab$的取值范围是________.

答案：
例5
(1)D　函数$f(x)=2^{x}-x - 1$，则不等式$f(x)＞0$的解集即$2^{x}＞x + 1$的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数$y = 2^{x}$，$y = x + 1$的图象，如图所示，结合图象易得$2^{x}＞x + 1$的解集为$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$.故选D.

(2)$(4,+\infty)$　画出函数$f(x)=|\lg(x - 1)|$的图象，如图所示.由$1＜a＜b$且$f(a)=f(b)$可得$-\lg(a - 1)=\lg(b - 1)$，解得$ab=a + b＞2\sqrt{ab}$(由于$a＜b$，故取不到等号)，所以$ab＞4$.