《2025年高考帮数学》

训练3　[2023武汉市武昌实验中学模拟测试]已知在圆柱O₁O₂内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O₁O₂的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球的交线长为________.

答案：
$\frac{4\sqrt{10}\pi}{5}$　设该球的球心为O，半径为r，则AB = BC = 2r，而S_{四边形ABCD}=AB×BC = 4r² = 8，解得r = $\sqrt{2}$.
如图，连接PO₂，O₁P，作OH⊥O₂P于H，易知O₁O₂⊥AB，因为P为CD的中点，所以AP = BP. 又O₂为AB的中点，所以O₂P⊥AB. 又O₁O₂∩O₂P = O₂，所以AB⊥平面O₁O₂P. 又OH⊂平面O₁O₂P，所以AB⊥OH. 因为OH⊥O₂P，且AB∩PO₂ = O₂，所以OH⊥平面ABP.
因为O₁O₂ = 2r = 2$\sqrt{2}$，O₁P = $\sqrt{2}$，O₁O₂⊥O₁P，所以O₂P = $\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}+O_{1}P^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{10}$，所以sin∠O₁O₂P = $\frac{O_{1}P}{O_{2}P}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以OH = OO₂×sin∠O₁O₂P = $\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{10}}{5}$. 易知平面PAB与球O的交线为一个圆，其半径为r₁ = $\sqrt{r^{2}-OH^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-(\frac{\sqrt{10}}{5})^{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$，所以交线长为2πr₁ = 2π×$\frac{2\sqrt{10}}{5}=\frac{4\sqrt{10}\pi}{5}$.
　　　　　　　　　　　　　　

1. 空间向量的三个定理

| $P,A,B$三点共线 | $M,P,A,B$四点共面 |
| $\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB}$ | $\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$ |
| 对空间任一点$O$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$ | 对空间任一点$O$，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$ |
| 对空间任一点$O$，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+(1 - x)\overrightarrow{OB}$ | 对空间任一点$O$，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{OA}+(1 - x - y)\overrightarrow{OB}$ |

答案： ①$a = \lambda b$ ②不共线 ③$p = xa + yb$ ④$xa + yb + zc$

2. 空间向量的坐标运算
设$\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$，$\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$，则
(1) $\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}=(a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},a_{3}\pm b_{3})$；
(2) $\lambda\boldsymbol{a}=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3})(\lambda\in\mathbf{R})$；
(3) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$⑤_____；
(4) $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0})\Leftrightarrow$⑥_____；
(5) $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0\Leftrightarrow$⑦_____；
(6) $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$；
(7) $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$.

答案： ⑤$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$ ⑥$a_{1}=\lambda b_{1},a_{2}=\lambda b_{2},a_{3}=\lambda b_{3}(\lambda\in R)$ ⑦$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$