《2025年高考帮数学》

2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r＞0)$，圆心$C$的坐标为$(a,b)$，半径为$r$，设$M$的坐标为$(x_0,y_0)$.
[位置关系]　　　　[几何法]　　　　　　[代数法]
点$M(x_0,y_0)$在圆外 $|MC|＞r$ ④___
点$M(x_0,y_0)$在圆上 $|MC|=r$ ⑤___
点$M(x_0,y_0)$在圆内 $|MC|＜r$ ⑥___

答案： $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＞ r^2$
@@$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$
@@$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＜ r^2$

1.[2022北京高考]若直线$2x + y - 1 = 0$是圆$(x - a)^2 + y^2 = 1$的一条对称轴，则$a =$ 　　　　　　　　　(　　)
A.$\frac{1}{2}$　　　　　　　
　B.$-\frac{1}{2}$　　　　　　
　C.1　　　　　　　　
　D. -1

答案： A 由题意知，圆心坐标为$(a,0)$，且圆心在直线$2x + y - 1 = 0$上，所以$2a - 1 = 0$，得$a = \frac{1}{2}$. 故选 A.

2.[2021上海高考]已知圆$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$，则该圆的圆心坐标为_______.

答案： $(1,2)$ 解法一 易知$D = -2$，$E = -4$，则$-\frac{D}{2} = 1$，$-\frac{E}{2} = 2$，故圆心坐标为$(1,2)$.
解法二 将圆的一般方程化为标准方程得$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$，则圆心坐标为$(1,2)$.

3.[易错题]半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为____________.

答案： $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$或$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 9$ 由题意知圆心坐标为$(3,3)$或$(-3,-3)$，故所求圆的方程为$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$或$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 9$.

4.若方程$x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$表示圆，则$a$的取值范围是_______.

答案： $(-\infty,1)$ 解法一 方程$x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$可化为$(x + a)^2 + (y + a)^2 = 1 - a$，若它表示圆，则需满足$1 - a ＞ 0$，故$a ＜ 1$.
解法二 要使方程$x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + 2a^2 + a - 1 = 0$表示圆，则需满足$(2a)^2 + (2a)^2 - 4(2a^2 + a - 1) ＞ 0$，解得$a ＜ 1$.

5.若点$(1,1)$在圆$x^2 + y^2 + x + ay + 1 = 0$外，则实数$a$的取值范围为_______.

答案： $(-4,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$ 由题可知$1^2 + a^2 - 4\times1 ＞ 0$，解得$a ＞ \sqrt{3}$或$a ＜ -\sqrt{3}$. 又点$(1,1)$在圆外，所以$1^2 + 1^2 + 1 + a + 1 ＞ 0$，解得$a ＞ -4$. 故实数$a$的取值范围为$(-4,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)$.

例1
(1)[2022全国卷乙]过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________.
(2)[2022全国卷甲]设点M在直线2x + y - 1 = 0上,点(3,0)和(0,1)均在⊙M上,则⊙M的方程为________________.

答案：
(1)$x^{2}+y^{2}-4x - 6y = 0$(答案唯一) 设$A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(-1,1)$,$M(4,2)$,圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0$.若圆过$A$,$B$,$C$三点,则分别将三点的坐标代入,可得$\begin{cases}F = 0,\\16 + 4D+F = 0,\\2 - D+E+F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = - 4,\\E = - 6,\\F = 0,\end{cases}$易得$D^{2}+E^{2}-4F＞0$,所以过$A$,$B$,$C$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x - 6y = 0$.
同理,得过$A$,$B$,$M$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x - 2y = 0$;
过$A$,$C$,$M$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y = 0$;
过$B$,$C$,$M$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-\frac{16}{5}x - 2y-\frac{16}{5}=0$.
(2)$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5$ 解法一(待定系数法) 设$\odot M$的方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$,则$\begin{cases}2a + b - 1 = 0,\\(3 - a)^{2}+b^{2}=r^{2},\\a^{2}+(1 - b)^{2}=r^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 1,\\r^{2}=5.\end{cases}$$\therefore\odot M$的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5$.
解法二(几何法) 设$A(3,0)$,$B(0,1)$,$\odot M$的半径为$r$,则$k_{AB}=\frac{1 - 0}{0 - 3}=-\frac{1}{3}$,$AB$的中点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$,$\therefore AB$的垂直平分线方程为$y-\frac{1}{2}=3(x-\frac{3}{2})$,即$3x - y - 4 = 0$.联立得$\begin{cases}3x - y - 4 = 0,\\2x + y - 1 = 0,\end{cases}$解得$M(1,-1)$,$\therefore r^{2}=|MA|^{2}=(3 - 1)^{2}+[0 - (-1)]^{2}=5$,$\therefore\odot M$的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5$.

训练1
(1)已知m为实数，方程(m + 2)x² + m²y² + 8x + 4y + 5m = 0表示圆，则实数m的值为________.
(2)[2023郑州市一测]经过点P(1,1)以及圆x² + y² - 4 = 0与圆x² + y² - 4x + 4y - 12 = 0交点的圆的方程为____________.

答案：

(1)$-1$ $\because(m + 2)x^{2}+m^{2}y^{2}+8x + 4y+5m = 0$表示圆,$\therefore m + 2 = m^{2}$,$\therefore m = - 1$或$m = 2$. (二次项系数相等)
当$m = - 1$时,原方程为$x^{2}+y^{2}+8x + 4y - 5 = 0$,(二次项系数化为$1$后再使用公式)
即$(x + 4)^{2}+(y + 2)^{2}=25$.
当$m = 2$时,原方程可化为$x^{2}+y^{2}+2x + y+\frac{5}{2}=0$,
即$(x + 1)^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=-\frac{5}{4}$,不是圆的方程,$\therefore m = 2$不合题意.
综上,$m$的值为$-1$.
(2)$x^{2}+y^{2}+x - y - 2 = 0$ 解法一 联立得$\begin{cases}x^{2}+y^{2}-4 = 0,\\x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0,\\y = 2,\end{cases}$不妨设$A(-2,0)$,$B(0,2)$,过$A$,$B$,$P$三点的圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$,分别将$A$,$B$,$P$三点的坐标代入,得$\begin{cases}4 - 2D+F = 0,\\4 + 2E+F = 0,\\2 + D+E+F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = 1,\\E = - 1,\\F = - 2,\end{cases}$且$D^{2}+E^{2}-4F＞0$,所以所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}+x - y - 2 = 0$.
解法二 联立得$\begin{cases}x^{2}+y^{2}-4 = 0,\\x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = 0,\\y = 2,\end{cases}$不妨设$A(-2,0)$,$B(0,2)$,如图,在平面直角坐标系中作出$A$,$B$,$P$三点,并连接$AB$,$AP$,$BP$,显然$\triangle ABP$是以$AP$为斜边的直角三角形,且$AP$为所求圆的直径,记所求圆的圆心为$E$,半径为$R$,则$E$为$AP$的中点,且$E(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$R=\frac{\sqrt{(-2 - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$,故所求圆的方程为$(x+\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{2}$,即$x^{2}+y^{2}+x - y - 2 = 0$.

解法三 设过圆$x^{2}+y^{2}-4 = 0$和圆$x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12 = 0$的交点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12+\lambda(x^{2}+y^{2}-4)=0$,因为此圆经过点$P(1,1)$,所以有$1 + 1 - 4 + 4 - 12+\lambda(1 + 1 - 4)=0$,解得$\lambda = - 5$,即所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12 - 5(x^{2}+y^{2}-4)=0$,化简得,$x^{2}+y^{2}+x - y - 2 = 0$.

例2
(1)若Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A. x² + y² = 25(y≠0)
B. x² + y² = 25
C. (x - 2)² + y² = 25(y≠0)
D. (x - 2)² + y² = 25
(2)已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C:x² + y² + 4x = 0上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为________________.

答案：
(1)C 解法一(定义法) 线段$AB$的中点为$D(2,0)$,因为$\triangle ABC$为直角三角形,$C$为直角顶点,所以$|CD| = |AD| = |DB|$,所以点$C$在以$D$为圆心,$|AD| = 5$为半径的圆上,所以点$C$的轨迹方程为$(x - 2)^{2}+y^{2}=25(y\neq0)$.
解法二(直接法) 线段$AB$的中点坐标为$(2,0)$,因为$\triangle ABC$为直角三角形,$C$为直角顶点,所以点$C$到点$(2,0)$的距离为$\frac{1}{2}|AB| = 5$,所以点$C(x,y)$满足$\sqrt{(x - 2)^{2}+y^{2}}=5(y\neq0)$,即$(x - 2)^{2}+y^{2}=25(y\neq0)$.
(2)$(x - 3)^{2}+(y - 3)^{2}=1$ 设点$P$的坐标为$(x,y)$,点$A$的坐标为$(x_{0},y_{0})$,由于点$B$的坐标为$(8,6)$,且$P$为线段$AB$的中点,$\therefore x=\frac{x_{0}+8}{2}$,$y=\frac{y_{0}+6}{2}$,于是有$x_{0}=2x - 8$,$y_{0}=2y - 6$.
$\because$点$A$在圆$C$上运动,
$\therefore$点$A$的坐标满足方程$x^{2}+y^{2}+4x = 0$,即$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+4x_{0}=0$,
$\therefore(2x - 8)^{2}+(2y - 6)^{2}+4(2x - 8)=0$,
化简整理,得$x^{2}+y^{2}-6x - 6y + 17 = 0$,
即$(x - 3)^{2}+(y - 3)^{2}=1$.