《2025年高考帮数学》

训练4 [2024福建泉州质量监测节选]如图，三棱锥P - ABC中，PA⊥PB,PA = PB,AB = 2BC = 2，平面PAB⊥平面ABC. 求三棱锥P - ABC体积的最大值.
　　　　　　　　　　　　

答案：
取$AB$的中点$O$，连接$PO$，如图所示.因为$PA = PB$，所以$PO\perp AB$，又平面$PAB\perp$平面$ABC$，平面$PAB\cap$平面$ABC = AB$，$PO\subset$平面$PAB$，所以$PO\perp$平面$ABC$.因为$PA\perp PB$，$PA = PB$，$AB = 2BC = 2$，所以$PO = 1$，$BC = 1$，所以$V_{三棱锥P - ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PO=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC)\cdot PO=\frac{1}{3}\sin\angle ABC$.因为$\angle ABC\in(0,\pi)$，所以$0\lt\sin\angle ABC\leqslant1$，$V_{三棱锥P - ABC}\leqslant\frac{1}{3}$，当且仅当$\sin\angle ABC = 1$，即$\angle ABC=\frac{\pi}{2}$时，等号成立.故三棱锥$P - ABC$体积的最大值为$\frac{1}{3}$.

例4 [2023北京高考节选]如图，在三棱锥P - ABC中，PA⊥平面ABC,PA = AB = BC = 1,PC = √3.
求证：BC⊥平面PAB.
　　　　　　　　　　

答案： 因为$PA\perp$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp AC$，又$PA = 1$，$PC=\sqrt{3}$，所以$AC=\sqrt{2}$.因为$AB = BC = 1$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，所以$BC\perp AB$.因为$PA\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp BC$，又$BC\perp AB$，且$PA\cap AB = A$，$PA$，$AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$.

训练5 [2022全国卷甲]小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒. 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明：EF//平面ABCD.
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
　　

答案：

(1)如图，分别取$AB$，$BC$的中点$M$，$N$，连接$EM$，$FN$，$MN$，$\because\triangle EAB$与$\triangle FBC$均为正三角形，且边长均为$8$，$\therefore EM\perp AB$，$FN\perp BC$，且$EM = FN$.又平面$EAB$与平面$FBC$均垂直于平面$ABCD$，平面$EAB\cap$平面$ABCD = AB$，平面$FBC\cap$平面$ABCD = BC$，$EM\subset$平面$EAB$，$FN\subset$平面$FBC$，$\therefore EM\perp$平面$ABCD$，$FN\perp$平面$ABCD$，$\therefore EM// FN$，$\therefore$四边形$EMNF$为平行四边形，$\therefore EF// MN$.又$MN\subset$平面$ABCD$，$EF\not\subset$平面$ABCD$，$\therefore EF//$平面$ABCD$.

(2)如图，分别取$AD$，$DC$的中点$P$，$Q$，连接$PM$，$PH$，$PQ$，$QN$，$QG$，$AC$，$BD$.由
(1)知$EM\perp$平面$ABCD$，$FN\perp$平面$ABCD$，同理可证得，$GQ\perp$平面$ABCD$，$HP\perp$平面$ABCD$，易得$EM = FN = GQ = HP = 4\sqrt{3}$，$EM// FN// GQ// HP$.易得$AC\perp BD$，$MN// AC$，$PM// BD$，所以$PM\perp MN$，又$PM = QN = MN = PQ=\frac{1}{2}BD = 4\sqrt{2}$，所以四边形$PM NQ$是正方形，所以四棱柱$PM NQ - HEFG$为正四棱柱，所以$V_{四棱柱PM NQ - HEFG}=(4\sqrt{2})^{2}\times4\sqrt{3}=128\sqrt{3}$.因为$AC\perp BD$，$BD// PM$，所以$AC\perp PM$.因为$EM\perp$平面$ABCD$，$AC\subset$平面$ABCD$，所以$EM\perp AC$.又$EM$，$PM\subset$平面$PMEH$，且$EM\cap PM = M$，所以$AC\perp$平面$PMEH$，则点$A$到平面$PMEH$的距离$d=\frac{1}{4}AC = 2\sqrt{2}$，所以$V_{四棱锥A - PMEH}=\frac{1}{3}S_{四边形PMEH}\times d=\frac{1}{3}\times4\sqrt{2}\times4\sqrt{3}\times2\sqrt{2}=\frac{64\sqrt{3}}{3}$，所以该包装盒的容积$V = V_{四棱柱PM NQ - HEFG}+4V_{四棱锥A - PMEH}=128\sqrt{3}+4\times\frac{64\sqrt{3}}{3}=\frac{640\sqrt{3}}{3}(cm^{3})$.