《2025年高考帮数学》

例1 [2023湖南衡阳5月三模]已知函数$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x + a$.
(1)当$a = 0$时,求$f(x)$的极值;
(2)若对于任意的$x\in[1,e^{2}],f(x)\leq0$恒成立,求实数$a$的取值范围.

答案：

(1)当a = 0时，$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$，则$f'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x - 2}{x^{2}}$，
当0 ＜ x ＜ 2时，$f'(x)＜0$，当x ＞ 2时，$f'(x)＞0$，列表如下.

所以$f(x)$的极小值为$f(2)=1+\ln 2$，无极大值。
(2)$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x + a\leq0$，即$a\leq-\frac{2}{x}-\ln x$。
令$g(x)=-\frac{2}{x}-\ln x$，$x\in[1,e^{2}]$，则$a\leq g(x)_{min}$。
求导得$g'(x)=\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{2 - x}{x^{2}}$，当1≤x ＜ 2时，$g'(x)＞0$，当2 ＜ x≤$e^{2}$时，$g'(x)＜0$，
所以$g(x)$在[1,2]上单调递增，在(2,$e^{2}$]上单调递减。
因为$g(1)= - 2$，$g(e^{2})=-\frac{2}{e^{2}}-\ln e^{2}=-\frac{2}{e^{2}}-2$，所以$g(1)＞g(e^{2})$，所以$g(x)_{min}=g(e^{2})=-\frac{2}{e^{2}}-2$。
所以$a\leq g(x)_{min}=-\frac{2}{e^{2}}-2$，
即实数a的取值范围为$(-\infty,-\frac{2}{e^{2}}-2]$。

训练1 [2024辽宁省联考]已知函数$f(x)=\ln(x + 1)-ax + 2$.
(1)若$a = 2$，求$f(x)$在$x = 0$处的切线方程;
(2)当$x\geq0$时，$f(x)+2x + x\ln(x + 1)\geq0$恒成立，求整数$a$的最大值.

答案：
(1)若a = 2，则$f(x)=\ln(x + 1)-2x + 2$，$f(0)=2$，则切点坐标为(0,2)，
$f'(x)=\frac{1}{x + 1}-2$，则切线斜率为$f'(0)= - 1$，
所以切线方程为y - 2 = -(x - 0)，即x + y - 2 = 0。
(2)由$f(x)+2x + x\ln(x + 1)\geq0$，得$ax\leq(x + 1)[\ln(x + 1)+2]$，
当x = 0时，$a\times0\leq2$，$a\in R$；
当x ＞ 0时，$a\leq\frac{(x + 1)[\ln(x + 1)+2]}{x}$，
设$g(x)=\frac{(x + 1)[\ln(x + 1)+2]}{x}$，$g'(x)=\frac{x - 2-\ln(x + 1)}{x^{2}}$，
设$h(x)=x - 2-\ln(x + 1)$，$h'(x)=\frac{x}{x + 1}＞0$，
则$h(x)$在(0,+∞)单调递增，
因为$h(3)=1-\ln 4＜0$，$h(4)=2-\ln 5＞0$，
所以存在$x_{0}\in(3,4)$使得$h(x_{0})=0$，即$x_{0}-2=\ln(x_{0}+1)$。
当$x\in(0,x_{0})$时，$h(x)＜0$，即$g'(x)＜0$；当$x\in(x_{0},+\infty)$时，$h(x)＞0$，即$g'(x)＞0$。
则$g(x)$在$(0,x_{0})$单调递减，在$(x_{0},+\infty)$单调递增，$g(x)_{min}=g(x_{0})$，
所以$a\leq g(x_{0})=\frac{(x_{0}+1)[\ln(x_{0}+1)+2]}{x_{0}}=\frac{(x_{0}+1)[(x_{0}-2)+2]}{x_{0}}=x_{0}+1$。
因为$x_{0}\in(3,4)$，所以$x_{0}+1\in(4,5)$，所以整数a的最大值为4。

例2 [2023全国卷甲]已知函数$f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^{3}x},x\in(0,\frac{\pi}{2})$.
(1)当$a = 8$时，讨论$f(x)$的单调性;
(2)若$f(x)＜\sin2x$，求$a$的取值范围.

答案：
(1)当a = 8时，$f(x)=8x-\frac{\sin x}{\cos^{3}x}$，$x\in(0,\frac{\pi}{2})$，
$f'(x)=8-\frac{\cos^{4}x + 3\sin^{2}x\cos^{2}x}{\cos^{6}x}=8+\frac{2}{\cos^{2}x}-\frac{3}{\cos^{4}x}$。
令$\frac{1}{\cos^{2}x}=t$，则$t\in(1,+\infty)$，
令$h(t)= - 3t^{2}+2t + 8=-(3t + 4)(t - 2)$，
当$t\in(1,2)$时，$h(t)＞0$；当$t\in(2,+\infty)$时，$h(t)＜0$。
故当$x\in(0,\frac{\pi}{4})$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增；
当$x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减。
综上，$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{4})$上单调递增，在区间$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$上单调递减。
(2)令$g(x)=f(x)-\sin 2x=ax-\frac{\sin x}{\cos^{3}x}-\sin 2x$，
则$g'(x)=a-\frac{\cos^{4}x + 3\sin^{2}x\cos^{2}x}{\cos^{6}x}-2\cos 2x=a-\frac{\cos^{2}x + 3\sin^{2}x}{\cos^{4}x}-4\cos^{2}x + 2=a-(\frac{-2\cos^{2}x + 3}{\cos^{4}x}+4\cos^{2}x - 2)$，
令$u=\cos^{2}x$，则$u\in(0,1)$，令$k(u)=\frac{-2u + 3}{u^{2}}+4u - 2$，
则$k'(u)=\frac{2u - 6}{u^{3}}+4=\frac{4u^{3}+2u - 6}{u^{3}}$。
当$u\in(0,1)$时，$k'(u)＜0$，
∴$k(u)$在(0,1)上单调递减，
∵$k(1)=3$，
∴当$u\in(0,1)$时，$k(u)＞3$，
∴$k(u)$的值域为$(3,+\infty)$。
①当$a\leq3$时，$g'(x)＜0$，
∴$g(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，
∵当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$g(x)＜0$，
∴$f(x)＜\sin 2x$。
②当$a＞3$时，$\exists x_{0}\in(0,\frac{\pi}{2})$使得$g'(x_{0})=0$，
∴$g(x)$在$(0,x_{0})$上单调递增，在$(x_{0},\frac{\pi}{2})$上单调递减，
∴$g(x_{0})＞0$，
∴$f(x)＜\sin 2x$不成立。
综上所述，a的取值范围为$(-\infty,3]$。