《2025年高考帮数学》

1.[多选]下列说法正确的是 （ ）
A.若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切
B.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交
C.“$k = 1$”是“直线$x - y + k = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$相交”的必要不充分条件
D.过圆$O:x^2 + y^2 = r^2$外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是$x_0x + y_0y = r^2$

答案： 1.AD

2.[易错题]若半径为1的圆C与圆$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$相切,则圆C的圆心C的轨迹方程为____________.

答案： 2.(x + 1)² + (y - 2)² = 16或(x + 1)² + (y - 2)² = 4若两圆外切,则点C与点(-1,2)间的距离为4,点C在以(-1,2)为圆心,4为半径的圆上,此时点C的轨迹方程为(x + 1)² + (y - 2)² = 16;若两圆内切,则点C与点(-1,2)间的距离为2,点C在以(-1,2)为圆心,2为半径的圆上,此时点C的轨迹方程为(x + 1)² + (y - 2)² = 4.

3.[易错题]已知圆$C:x^2 + y^2 = 9$,过点$P(3,1)$作圆C的切线,则切线方程为________________________.

答案： 3.x = 3或4x + 3y - 15 = 0由题意知P在圆外,当切线斜率不存在时，切线方程为x = 3,满足题意;当切线斜率存在时，设斜率为k,则切线方程为y - 1 = k(x - 3),即kx - y + 1 - 3k = 0,由\frac{|k×0 - 0 + 1 - 3k|}{\sqrt{k² + (-1)²}} = 3,解得k = -\frac{4}{3},所以切线方程为4x + 3y - 15 = 0.综上,切线方程为x = 3或4x + 3y - 15 = 0.

4.过两圆$x^2 + y^2 - 2y - 4 = 0$与$x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$的交点,且圆心在直线$l:2x + 4y - 1 = 0$上的圆的方程为______________________.

答案： 4.x² + y² - 3x + y - 1 = 0易知x² + y² - 2y - 4 = 0不符合题意,设所求圆的方程为x² + y² - 4x + 2y + λ(x² + y² - 2y - 4) = 0(λ≠ - 1),则(1 + λ)x² - 4x + (1 + λ)y² + (2 - 2λ)y - 4λ = 0,把圆心坐标(\frac{2}{1 + λ},\frac{λ - 1}{1 + λ})代入直线l的方程2x + 4y - 1 = 0,可得λ = \frac{1}{3},故所求圆的方程为x² + y² - 3x + y - 1 = 0.

5.[浙江高考]已知直线$y = kx + b(k ＞ 0)$与圆$x^2 + y^2 = 1$和圆$(x - 4)^2 + y^2 = 1$均相切,则$k = $________,$b = $________.

答案： 5.\frac{\sqrt{3}}{3} -\frac{2\sqrt{3}}{3}解法一因为直线y = kx + b(k ＞ 0)与圆x² + y² = 1,圆(x - 4)² + y² = 1都相切,所以\frac{|b|}{\sqrt{1 + k²}} = \frac{|4k + b|}{\sqrt{1 + k²}} = 1,得k = \frac{\sqrt{3}}{3},b = -\frac{2\sqrt{3}}{3}.
解法二因为直线y = kx + b(k ＞ 0)与圆x² + y² = 1,圆(x - 4)² + y² = 1都相切,所以直线y = kx + b必过两圆心连线的中点(2,0),所以2k + b = 0.设直线y = kx + b的倾斜角为θ,则sinθ = \frac{1}{2},又k ＞ 0,所以θ = \frac{π}{6},所以k = tan\frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3},b = - 2k = -\frac{2\sqrt{3}}{3}.

例1 (1)[多选/2021新高考卷Ⅱ]已知直线l：$ax + by - r^{2} = 0(r ＞ 0)$与圆C：$x^{2} + y^{2} = r^{2}$，点$A(a,b)$，则下列说法正确的是 ( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
(2)[2022新高考卷Ⅱ]设点$A( - 2,3)$，$B(0,a)$，若直线AB关于$y = a$对称的直线与圆$(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$有公共点，则a的取值范围是________.

答案： 高考帮
例1
(1)ABD对于A,若点A(a,b)在圆C上,则a² + b² = r²,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ = r,所以直线l与圆C相切,故A正确;对于B,若点A(a,b)在圆C内,则a² + b² ＜ r²,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ＞ r,所以直线l与圆C相离,故B正确;对于C,若点A(a,b)在圆C外,则a² + b² ＞ r²,所以圆心C(0,0)到直线l的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ＜ r,所以直线l与圆C相交，故C不正确;对于D,因为点A在直线l上,所以a² + b² = r²,圆心C(0,0)到直线l的距离d = $\frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ = r,所以直线l与圆C相切,D正确.故选ABD.
(2)[$\frac{1}{3}$,$\frac{3}{2}$] 解法一由题意知点A(−2,3)关于直线y=a的对称点为A'(−2,2a−3),所以$k_{A'B}$ = $\frac{3 - a}{2}$,所以直线A'B的方程为y = $\frac{3 - a}{2}$x + a,即(3 - a)x - 2y + 2a = 0.由题意知直线A'B与圆(x + 3)² + (y + 2)² = 1有公共点,易知圆心为(−3,−2),半径为1,所以$\frac{\vert - 3(3 - a)+(-2)\times(-2)+2a\vert}{\sqrt{(3 - a)^{2}+(-2)^{2}}}$ ≤ 1,整理得6a² - 11a + 3 ≤ 0,解得$\frac{1}{3}$ ≤ a ≤ $\frac{3}{2}$,所以实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$,$\frac{3}{2}$].
解法二设已知圆关于直线y=a的对称圆为圆C,则易知圆心C(−3,2a + 2),半径r = 1.
又直线AB的方程为y = $\frac{a - 3}{2}$x + a,即(a - 3)x - 2y + 2a = 0.
于是,根据题意可知直线AB与圆C有公共点,从而可得$\frac{\vert (a - 3)(-3)-2(2a + 2)+2a\vert}{\sqrt{(a - 3)^{2}+(-2)^{2}}}$ ≤ 1,整理得6a² - 11a + 3 ≤ 0,解得$\frac{1}{3}$ ≤ a ≤ $\frac{3}{2}$.故所求a的取值范围是[$\frac{1}{3}$,$\frac{3}{2}$].