《2025年高考帮数学》

例10 [2023河北省高碑店市崇德实验中学模拟]$m$为何值时，关于$x$的方程$8x^{2}-(m - 1)x + m - 7 = 0$的两根：
(1)都为正数根；
(2)异号且负根绝对值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)都在区间$(0,2)$上.

答案： 设函数$f(x)=8x^{2}-(m - 1)x + m - 7$，方程的两根为$x_{1},x_{2}$。
(1)由题意可得$\begin{cases}\Delta=(m - 1)^{2}-4\times8\times(m - 7)\geqslant0,\\x_{1}+x_{2}=\frac{m - 1}{8}＞0,\\x_{1}x_{2}=\frac{m - 7}{8}＞0,\end{cases}$ 解得$7 ＜ m\leqslant9$或$m\geqslant25$。
(2)由题意可得$\begin{cases}\Delta=(m - 1)^{2}-4\times8\times(m - 7)＞0,\\x_{1}+x_{2}=\frac{m - 1}{8}＜0,\\x_{1}x_{2}=\frac{m - 7}{8}＜0,\end{cases}$ 解得$m ＜ 1$。
(3)由题意可得$\begin{cases}\Delta＞0,\\f(2)＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}(m - 1)^{2}-32(m - 7)＞0,\\32 - 2(m - 1)+m - 7＜0,\end{cases}$解得$m ＞ 27$。
(4)由题意可得$\begin{cases}\Delta\geqslant0,\\f(0)＞0,\\f(2)＞0,\\0＜\frac{m - 1}{16}＜2,\end{cases}$ 即$\begin{cases}(m - 1)^{2}-32(m - 7)\geqslant0,\\m - 7＞0,\\32 - 2(m - 1)+m - 7＞0,\\0＜\frac{m - 1}{16}＜2,\end{cases}$解得$7 ＜ m\leqslant9$或$25\leqslant m ＜ 27$。

训练4 [多选/2024广西贵港市名校入学检测]已知关于$x$的方程$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$，则下列说法正确的是（ ）
A. 当$m = 3$时，方程的两个实数根之和为0
B. 方程无实数根的一个充分条件是$m＞1$
C. 方程有两个正根的充要条件是$0 ＜ m\leqslant1$
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是$m＜0$

答案： CD 对于A，当$m = 3$时，方程为$x^{2}+3 = 0$，此时方程无解，所以A错误。对于B，当方程$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$无实根时，$\Delta=(m - 3)^{2}-4m＜0$，解得$1 ＜ m ＜ 9$，所以$m ＞ 1$是方程无实数根的一个必要条件，所以B错误。对于C，当方程$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$有两个正根时，$\begin{cases}\Delta=(m - 3)^{2}-4m\geqslant0,\\3 - m＞0,\\m＞0,\end{cases}$ 解得$0 ＜ m\leqslant1$，反之也成立，所以方程有两个正根的充要条件是$0 ＜ m\leqslant1$，所以C正确。对于D，当方程$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$有一个正根和一个负根时，$\begin{cases}\Delta=(m - 3)^{2}-4m＞0,\\m＜0,\end{cases}$解得$m ＜ 0$，反之也成立，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是$m ＜ 0$，所以D正确。 故选CD.