《2025年高考帮数学》

1.下列说法正确的是 （ ）
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.若直线的斜率为$\tan\alpha$，则其倾斜角为$\alpha$
C.经过定点$P(x_0,y_0)$的直线都可以用方程$y - y_0 = k(x - x_0)$表示
D.截距可以为负值

答案： 1.D　对于A,倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误;对于B,一条直线的斜率为$\tan\alpha$，此直线的倾斜角不一定为$\alpha$，如直线$y = x$的斜率为$\tan\frac{5\pi}{4}$，它的倾斜角为$\frac{\pi}{4}$，B错误;对于C,当经过定点$P(x_{0},y_{0})$的直线与$x$轴垂直时,斜率不存在,故C错误;对于D,截距可以取正数、负数或零，所以D正确.

2.[易错题]已知直线$l$:$x\tan60^{\circ}+y - 3 = 0$，则直线$l$的倾斜角$\alpha$为 （ ）
A.$30^{\circ}$ B.$60^{\circ}$ C.$120^{\circ}$ D.$150^{\circ}$

答案： 2.C　$\because x\tan60^{\circ}+y - 3 = 0$，$\therefore y = -x\tan60^{\circ}+3 = x\tan120^{\circ}+3$，故直线$l$的倾斜角是$120^{\circ}$，故选C.

3.倾斜角为$135^{\circ}$，在$y$轴上的截距为$-1$的直线方程是 （ ）
A.$x - y + 1 = 0$ B.$x - y - 1 = 0$ C.$x + y - 1 = 0$ D.$x + y + 1 = 0$

答案： 3.D　$\because$直线倾斜角是$135^{\circ}$，$\therefore$直线的斜率等于$-1$，$\because$在$y$轴上的截距是$-1$，由直线方程的斜截式得：$y = -1\times x - 1$，即$x + y + 1 = 0$，故选D.

4.[多选]如图，直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，$k_3$，倾斜角分别为$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$，则下列选项正确的是 （ ）
A.$k_1\lt k_3\lt k_2$ B.$k_3\lt k_2\lt k_1$ C.$\alpha_1\lt\alpha_3\lt\alpha_2$ D.$\alpha_3\lt\alpha_2\lt\alpha_1$

答案： 4.AD　由题图知，$k_{2} ＞ k_{3} ＞ 0$，$k_{1} ＜ 0$，故$\frac{\pi}{2} ＞ \alpha_{2} ＞ \alpha_{3} ＞ 0$，且$\alpha_{1}$为钝角，故选AD.

5.[教材改编]经过$A(0,3)$，$B(-2,0)$两点的直线的方向向量为$(1,k)$，则$k$的值为______。

答案： 5.$\frac{3}{2}$　由题意可得$k = \frac{3}{2}$.

6.[易错题]已知点$A(3,4)$，则经过点$A$且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________。

答案： 6.$4x - 3y = 0$或$x + y - 7 = 0$　设直线在$x$轴、$y$轴上的截距均为$a$.(讨论截距是否为0)
①若$a = 0$，即直线过点$(0,0)$及$(3,4)$，
则直线的方程为$y = \frac{4}{3}x$，即$4x - 3y = 0$；
②若$a\neq0$，设所求直线的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，
又点$(3,4)$在直线上，所以$\frac{3}{a}+\frac{4}{a}=1$，所以$a = 7$.
所以直线的方程为$x + y - 7 = 0$.
综上可知，所求直线的方程为$4x - 3y = 0$或$x + y - 7 = 0$.

例1 （1）直线$2x\cos\alpha - y - 3 = 0(\alpha\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}])$的倾斜角的取值范围是 （ ）
A.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$ B.$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$
C.$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$ D.$[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$
（2）[2022新高考卷Ⅱ]图1是中国古代建筑中的举架结构，$AA',BB',CC',DD'$是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中$DD_1,CC_1,BB_1,AA_1$是举，$OD_1,DC_1,CB_1,BA_1$是相等的步，相邻桁的举步之比分别为$\frac{DD_1}{OD_1}=0.5,\frac{CC_1}{DC_1}=k_1,\frac{BB_1}{CB_1}=k_2,\frac{AA_1}{BA_1}=k_3$.已知$k_1,k_2,k_3$成公差为0.1的等差数列，且直线$OA$的斜率为0.725，则$k_3$=（ ）

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

答案：
高考帮
例1
(1)B 直线$2x\cos\alpha - y - 3 = 0$的斜率$k = 2\cos\alpha$，因为$\alpha\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$，所以$\frac{1}{2}\leq\cos\alpha\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$k = 2\cos\alpha\in[1,\sqrt{3}]$。设直线的倾斜角为$\theta$，则有$\tan\theta\in[1,\sqrt{3}]$。又$\theta\in[0,\pi)$，所以$\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$，即倾斜角的取值范围是$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$。故选B。
(2)D 如图，连接$OA$，延长$AA_1$与$x$轴交于点$A_2$，则$OA_2 = 4OD_1$。因为$k_1,k_2,k_3$成公差为$0.1$的等差数列，所以$k_1 = k_3 - 0.2$，$k_2 = k_3 - 0.1$，所以$\tan\angle AOA_2=\frac{AA_2}{OA_2}=\frac{0.5OD_1 + k_1DC_1 + k_2CB_1 + k_3BA_1}{4OD_1}=\frac{0.5 + k_1 + k_2 + k_3}{4}=\frac{0.5 + k_3 - 0.2 + k_3 - 0.1 + k_3}{4}=0.725$，解得$k_3 = 0.9$，故选D。