《2025年高考帮数学》

例5 [2023江苏省宿迁市模拟]定义域为R的函数$f(x)$满足$f( -x)=f(x)$，$[f(x)]^{4}-(4 + x^{2})[f(x)]^{2}+4x^{2}=0$对任意的实数$x$都成立，且值域为$[0,2]$.设函数$g(x)=\begin{cases}2x - m - 2,x\leq2\\ - m + 2,x＞2\end{cases}$，若对任意的$x_{1}\in( - 4,-1)$，都存在$x_{2}＞-1$，使$g(x_{2})=f(x_{1})$成立，则实数$m$的取值范围为（ ）
A. $[ - 5,0]$
B. $[ - 2,0]$
C. $( - 1,0)$
D. $(0,1]$

答案： 例5A 由$[f(x)]^{4}-(4 + x^{2})[f(x)]^{2}+4x^{2}=0$，得$\{ [f(x)]^{2}-4\} \{ [f(x)]^{2}-x^{2}\} =0$，解得$f(x)=\pm x$或$f(x)=\pm 2$.因为$f(x)$为偶函数，且值域为$[0,2]$，所以$f(x)=\begin{cases}2,x\leqslant -2,\\|x|,-2 ＜ x ＜ 2,\\2,x\geqslant 2.\end{cases}$若对任意$x_{1}\in (-4,-1)$，都存在$x_{2} ＞ -1$，使$g(x_{2})=f(x_{1})$成立，则$f(x)$在$(-4,-1)$上的值域是$g(x)$在$(-1,+\infty )$上的值域的子集.易知当$x\in (-4,-1)$时，$f(x)\in (1,2]$；当$x\in (-1,+\infty )$时，$g(x)\in (-4 - m,2 - m]$，所以$\begin{cases}-4 - m\leqslant 1,\\2 - m\geqslant 2,\end{cases}$所以$m\in [-5,0]$.

例6 [2023黑龙江省哈尔滨市第一中学模拟]已知函数$f(x)=\lg\frac{1 - x}{x + 1}$，函数$g(x)=2 - a^{x}(a＞0,a\neq1)$，若存在$x_{1},x_{2}\in(0,1)$，使得$f(x_{1})=g(x_{2})$成立，则实数$a$的取值范围为_______.

答案： 例6 $(2,+\infty )$ 函数$g(x)=2 - a^{x}(a ＞ 0,a\neq 1)$，若存在$x_{1}$，$x_{2}\in (0,1)$，使得$f(x_{1})=g(x_{2})$成立，则$f(x)$和$g(x)$在$x\in (0,1)$上的值域的交集不为空集. 当$0 ＜ x ＜ 1$时，$f(x)=\lg \frac{1 - x}{x + 1}=\lg (-1+\frac{2}{x + 1})$显然单调递减，所以其值域为$(-\infty,0)$. 若$a ＞ 1$，则$g(x)=2 - a^{x}$在$(0,1)$上单调递减，所以$g(x)$的值域为$(2 - a,1)$，此时只需$2 - a ＜ 0$，即$a ＞ 2$，所以$a ＞ 2$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$g(x)=2 - a^{x}$在$(0,1)$上单调递增，可得$g(x)$的值域为$(1,2 - a)$，此时$(1,2 - a)$与$(-\infty,0)$的交集显然为空集，不满足题意. 综上，实数$a$的取值范围是$(2,+\infty )$.

训练3 [2023上海市华东师范大学松江实验高级中学模拟]已知函数$f(x)=3\times2^{x}+2$，对于任意的$x_{1}\in[0,1]$，都存在$x_{2}\in[0,1]$，使得$f(x_{1})+\frac{3}{2}f(x_{2}+m)=20$成立，则实数$m$的取值范围为________.

答案： 训练3 $[\log _{2}\frac{4}{3},1]$ $x_{1}\in [0,1]$，故$f(x_{1})\in [3 + 2,3\times 2 + 2]=[5,8]$，由$f(x_{1})+\frac{3}{2}f(x_{2}+m)=20$得$f(x_{1})=20-\frac{3}{2}f(x_{2}+m)$，因为$x_{2}\in [0,1]$，所以$20-\frac{3}{2}f(x_{2}+m)\in [17 - 9\times 2^{m},17 - 9\times 2^{m - 1}]$，若对于任意的$x_{1}\in [0,1]$，都存在$x_{2}\in [0,1]$，使得$f(x_{1})+\frac{3}{2}f(x_{2}+m)=20$成立，则$[5,8]\subseteq [17 - 9\times 2^{m},17 - 9\times 2^{m - 1}]$，所以$\begin{cases}17 - 9\times 2^{m}\leqslant 5,\\17 - 9\times 2^{m - 1}\geqslant 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}m\leqslant 1,\\m\geqslant \log _{2}\frac{4}{3},\end{cases}$故$m\in [\log _{2}\frac{4}{3},1]$.

例7 [2024四川仁寿第一中学模拟]已知函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$，$g(x)=2^{x}+a$，若$\forall x_{1}\in[\frac{1}{2},1]$，$\exists x_{2}\in[2,3]$，使得$f(x_{1})\leq g(x_{2})$，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 例7 $[\frac{1}{2},+\infty )$ 依题意知$f(x)_{\max}(x\in [\frac{1}{2},1])\leqslant g(x)_{\max}(x\in [2,3])$. 因为$f(x)$在$[\frac{1}{2},1]$上是减函数，所以当$x\in [\frac{1}{2},1]$时$f(x)_{\max}=f(\frac{1}{2})=\frac{17}{2}$. 又$g(x)$在$[2,3]$上是增函数，所以当$x\in [2,3]$时，$g(x)_{\max}=g(3)=8 + a$. 因此$\frac{17}{2}\leqslant 8 + a$，即$a\geqslant \frac{1}{2}$，所以$a$的取值范围是$[\frac{1}{2},+\infty )$.

训练4 [2024河北省唐县第一中学模拟]已知函数$f(x)=x^{2}-2x - 1$，$g(x)=\log_{a}x(a＞0且a\neq1)$，若对任意的$x_{1}\in[ - 1,2]$，都存在$x_{2}\in[2,4]$，使得$f(x_{1})＜g(x_{2})$成立，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 训练4 $(1,2)$ $f(x)=(x - 1)^{2}-2$，当$x\in [-1,2]$时，$f(x)_{\max}=f(-1)=2$. 因为对任意的$x_{1}\in [-1,2]$，都存在$x_{2}\in [2,4]$，使得$f(x_{1}) ＜ g(x_{2})$成立，因此函数$f(x)$在$[-1,2]$上的最大值小于函数$g(x)$在$[2,4]$上的最大值，而当$0 ＜ a ＜ 1$，$x\in [2,4]$时，$\log _{a}x ＜ 0$，不符合题意，于是$a ＞ 1$，函数$g(x)=\log _{a}x$在$[2,4]$上单调递增，则$\log _{a}4 ＞ 2$，即$1 ＜ a^{2} ＜ 4$，解得$1 ＜ a ＜ 2$，所以实数$a$的取值范围是$(1,2)$.