《2025年高考帮数学》

3.已知α是第一象限角，那么$\frac{\alpha}{2}$是 （ ）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第二象限角
D.第一或第三象限角

答案： 3.D易知$2k\pi ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，故$k\pi ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ \frac{\pi}{4} + k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角.

4.[全国卷Ⅰ]若$\tan\alpha＞0$，则 （ ）
A.$\sin\alpha＞0$
B.$\cos\alpha＞0$
C.$\sin2\alpha＞0$
D.$\cos2\alpha＞0$

答案： 4.C因为$\tan\alpha ＞ 0$，所以$\alpha$为第一或第三象限角，即$2k\pi ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{2}$或$2k\pi + \pi ＜ \alpha ＜ 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，则$4k\pi ＜ 2\alpha ＜ 4k\pi + \pi$或$4k\pi + 2\pi ＜ 2\alpha ＜ 4k\pi + 3\pi$，$k\in\mathbf{Z}$.所以$2\alpha$为第一或第二象限角或终边在$y$轴的非负半轴上的角，从而$\sin2\alpha ＞ 0$.

5.在直径为20 cm的圆中，$\frac{4\pi}{3}$的圆心角所对弧的长为_________cm.

答案： 5.$\frac{40\pi}{3}$由弧长公式$l = |\alpha|r$可得,弧长为$\frac{4\pi}{3} \times \frac{20}{2} = \frac{40\pi}{3}(\text{cm})$.

6.[易错题]已知扇形的圆心角为$30^{\circ}$，其弧长为$2\pi$，则此扇形的面积为_________.

答案： 6.$12\pi$ $\because$圆心角$\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$，$l = |\alpha|r$，$\therefore r = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$，$\therefore$扇形面积$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 12 = 12\pi$.

例1 （1）时针经过四个小时，转过了 （ ）
A.$\frac{2\pi}{3}$ rad
B.$-\frac{2\pi}{3}$ rad
C.$\frac{5\pi}{6}$ rad
D.$-\frac{5\pi}{6}$ rad
（2）终边在直线$y = \sqrt{3}x$上的角的集合为 （ ）
A.$\{\beta|\beta = k\pi + \frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\}$
B.$\{\beta|\beta = k\pi + \frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\}$
C.$\{\beta|\beta = 2k\pi + \frac{\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\}$
D.$\{\beta|\beta = 2k\pi + \frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\}$

答案： （1）B　因为时针顺时针旋转，所以转过一圈的弧度为−2π rad，则时针经过四个小时，转过了$\frac{4}{12}\times(-2\pi)\text{rad}=-\frac{2\pi}{3}\text{rad}$.
(2)B　解法一　易知直线$y = \sqrt{3}x$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$.若终边落在射线$y = \sqrt{3}x(x\geq0)$上，则有$\beta = 2n\pi+\frac{\pi}{3},n\in\mathbf{Z}$，若终边落在射线$y = \sqrt{3}x(x\leq0)$上，则有$\beta = 2n\pi+\frac{4\pi}{3},n\in\mathbf{Z}$.综上可得$\beta = k\pi+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}$.故终边在直线$y = \sqrt{3}x$上的角的集合为$\{\beta|\beta = k\pi+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\}$.故选B.
解法二　易知直线$y = \sqrt{3}x$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，终边落在$x$轴上的角的集合为$\{\alpha|\alpha = k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$，将其逆时针旋转$\frac{\pi}{3}$，即可得到终边在$y = \sqrt{3}x$上的角，故所求集合为$\{\beta|\beta = k\pi+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\}$.

训练1 [2023湖北十堰月考]与$\frac{9\pi}{4}$终边相同的角的表达式中，正确的是 （ ）
A.$45^{\circ} + 2k\pi,k\in\mathbf{Z}$
B.$k\cdot360^{\circ} + \frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$
C.$k\cdot360^{\circ} + 315^{\circ},k\in\mathbf{Z}$
D.$2k\pi - \frac{7\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$

答案： D　在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A,B错误.与$\frac{9\pi}{4}$终边相同的角可以写成$2k\pi+\frac{9\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$的形式，$k = -2$时，$2k\pi+\frac{9\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}$，$315^{\circ}$换算成弧度制为$\frac{7\pi}{4}$，所以C错误，D正确.故选D.

例2 [2023天津南开中学统练]如图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展. 如图2是会徽的几何图形，设弧$AD$长度是$l_1$，弧$BC$长度是$l_2$，几何图形$ABCD$面积为$S_1$，扇形$BOC$面积为$S_2$，若$\frac{l_1}{l_2} = 2$，则$\frac{S_1}{S_2} =$ （ ）


A. 3
B. 4
C. 1
D. 2

答案： A设$\angle BOC=\alpha(\alpha ＞ 0)$，由$\frac{l_1}{l_2}=2$，得$\frac{OA\cdot\alpha}{OB\cdot\alpha}=\frac{OA}{OB}=2$，即$OA = 2OB$，则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\alpha\cdot OA^2-\frac{1}{2}\alpha\cdot OB^2}{\frac{1}{2}\alpha\cdot OB^2}=\frac{OA^2 - OB^2}{OB^2}=\frac{4OB^2 - OB^2}{OB^2}=3$.故选A.