《2025年高考帮数学》

训练3(1)[2023绵阳二诊]设双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右焦点为$F$,$A,B$两点在双曲线$C$上且关于原点对称,若$|AB| = 2|OF|$($O$为坐标原点),$|BF| = 3|AF|$,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\sqrt{6}x\pm2y = 0$　　　　B. $2x\pm\sqrt{6}y = 0$
C. $2x\pm3y = 0$　　　　　D. $3x\pm2y = 0$
(2)如图,设双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$的左、右焦点分别是$F_{1}、F_{2}$,点$A$是$C$右支上的一点,则$|AF_{1}|+\frac{4}{|AF_{2}|}$的最小值为　　(　　　)
A. 5　　　　B. 6
　　　　　　　　　　　
C. 7　　　　D. 8
(3)[2023湖北省重点中学联考]若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$的右支上存在两点$A,B$,使$\triangle ABM$为正三角形(其中$M$为双曲线的右顶点),则离心率$e$的取值范围为________.

答案：
(1)A记$F'$为双曲线$C$的左焦点，连接$AF'$，$BF'$，则$F$，$F'$关于原点对称，又$A$，$B$也关于原点对称，所以四边形$AFBF'$为平行四边形，又$|AB| = 2|OF|$，所以四边形$AFBF'$为矩形。因为$|BF| = 3|AF|$，所以$|AF'| = 3|AF|$，所以$|AF'|-|AF| = 2|AF| = 2a$，所以$|AF| = a$，$|AF'| = 3a$。在$Rt\triangle FAF'$中，$|AF|^{2}+|AF'|^{2}=|FF'|^{2}$，所以$a^{2}+(3a)^{2}=(2c)^{2}$，所以$c^{2}=\frac{5a^{2}}{2}$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$b^{2}=\frac{3a^{2}}{2}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x$，即$\sqrt{6}x\pm2y = 0$，故选A。
(2)C由双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$可得$a^{2}=1$，$b^{2}=24$，所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=25$，所以$a = 1$，$c = 5$。由双曲线的定义可得$|AF_{1}|-|AF_{2}| = 2a = 2$，所以$|AF_{1}| = |AF_{2}|+2$，所以$|AF_{1}|+\frac{4}{|AF_{2}|}=|AF_{2}|+\frac{4}{|AF_{2}|}+2$。由双曲线的性质可知$|AF_{2}|\geq c - a = 4$，令$|AF_{2}| = t$，则$t\geq4$，所以$|AF_{1}|+\frac{4}{|AF_{2}|}=t+\frac{4}{t}+2$。令$f(t)=t+\frac{4}{t}+2(t\geq4)$，则$f(t)$在$[4,+\infty)$上单调递增，(易忽视$|AF_{2}|$的范围，错误地使用基本不等式求最值)所以当$t = 4$时，$f(t)$取得最小值$4+\frac{4}{4}+2 = 7$，此时点$A$为双曲线的右顶点$(1,0)$，即$|AF_{1}|+\frac{4}{|AF_{2}|}$的最小值为$7$。故选C。
(3)$(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$由题意，双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。要使该双曲线右支上存在两点$A$，$B$，使$\triangle ABM$为正三角形，则需过右顶点$M$，且斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线$y=\frac{b}{a}x$的斜率，所以$\frac{\sqrt{3}}{3}＞\frac{b}{a}$，即$b ＜ \frac{\sqrt{3}}{3}a$，即$b^{2}＜\frac{1}{3}a^{2}$，所以$c^{2}＜a^{2}+\frac{1}{3}a^{2}$，即$c ＜ \frac{2\sqrt{3}}{3}a$。又$e＞1$，所以$1 ＜ e ＜ \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

第7讲
抛物线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离①________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的②________,直线l叫做抛物线的③________.
注意定点F在定直线l上时,动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.

答案： ①相等②焦点③准线

2.抛物线的标准方程与几何性质

答案： ④$F(\frac{p}{2},0)$ ⑤$F(-\frac{p}{2},0)$ ⑥$F(0,\frac{p}{2})$ ⑦$F(0,-\frac{p}{2})$ ⑧$x = -\frac{p}{2}$ ⑨$x = \frac{p}{2}$ ⑩$y = -\frac{p}{2}$ ⑪$y = \frac{p}{2}$ ⑫1 ⑬$\frac{p}{2}+x_0$ ⑭$\frac{p}{2}+y_0$