《2025年高考帮数学》

例6　(1)[2023南京六校联考]若$a = 0.4^{0.5},b = 0.5^{0.4},c=\log_{0.5}4$,则$a,b,c$的大小关系是　　(　　)
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $b ＜ c ＜ a$
C. $c ＜ b ＜ a$
D. $c ＜ a ＜ b$
(2)[2022全国卷甲]已知$9^{m}=10,a = 10^{m}-11,b = 8^{m}-9$,则　　(　　)
A. $a ＞ 0 ＞ b$
B. $a ＞ b ＞ 0$
C. $b ＞ a ＞ 0$
D. $b ＞ 0 ＞ a$

答案： 例6
(1)D　因为$0.4^{0.5}＜0.5^{0.5}＜0.5^{0.4}$，所以$a ＜ b$. 因为$c=\log _{32}4=\log _{2^{5}}2^{2}=\frac {2}{5}\log _{2}2 = 0.4＜0.4^{0.5}=a$，所以$c ＜ a ＜ b$，故选D.
(2)A　因为$9^{m}=10$，所以$m=\log _{9}10$，所以$a = 10^{m}-11=10^{\log _{9}10}-11 = 10^{\log _{9}10}-10^{\log _{10}11}$，因为$\log _{9}10-\log _{10}11=\frac {\lg 10}{\lg 9}-\frac {\lg 11}{\lg 10}=\frac {(\lg 10)^{2}-\lg 9\cdot \lg 11}{\lg 9\cdot \lg 10}＞\frac {(\lg 10)^{2}-(\frac {\lg 9+\lg 11}{2})^{2}}{\lg 9\cdot \lg 10}=\frac {1 - (\frac {\lg 99}{2})^{2}}{\lg 9}＞0$，所以$a＞0$.$b = 8^{\log _{9}10}-9=8^{\log _{9}10}-8^{\log _{8}9}$，因为$\log _{9}10-\log _{8}9=\frac {\lg 10}{\lg 9}-\frac {\lg 9}{\lg 8}=\frac {\lg 10\cdot \lg 8-(\lg 9)^{2}}{\lg 9\cdot \lg 8}＜\frac {(\frac {\lg 10+\lg 8}{2})^{2}-(\lg 9)^{2}}{\lg 9\cdot \lg 8}=\frac {(\frac {\lg 80}{2})^{2}-(\frac {\lg 81}{2})^{2}}{\lg 9\cdot \lg 8}＜0$，所以$b ＜ 0$. 综上，$a＞0＞b$. 故选A.

例7　[2024山西大学附中模拟]若$e^{a}=-\ln a,e^{-b}=\ln b,e^{-c}=-\ln c$,则　　(　　)
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $a ＜ c ＜ b$
C. $b ＜ c ＜ a$
D. $b ＜ a ＜ c$

答案： 例7B在同一直角坐标系中作出$y = e^{x},y = e^{-x},y=\ln x,y = -\ln x$的图象，如图所示，由图象可知$a ＜ c ＜ b$. 故选B.

例8　[全国卷Ⅰ]设$x,y,z$为正数,且$2^{x}=3^{y}=5^{z}$,则　　(　　)
A. $2x ＜ 3y ＜ 5z$
B. $5z ＜ 2x ＜ 3y$
C. $3y ＜ 5z ＜ 2x$
D. $3y ＜ 2x ＜ 5z$

答案： 例8D令$2^{x}=3^{y}=5^{z}=k$，由$x,y,z$为正数，知$k ＞ 1$.
解法一(作差法)　易知$x=\frac {\lg k}{\lg 2},y=\frac {\lg k}{\lg 3},z=\frac {\lg k}{\lg 5}$.
因为$k ＞ 1$，所以$\lg k＞0$，所以$2x - 3y=\frac {2\lg k}{\lg 2}-\frac {3\lg k}{\lg 3}=\frac {\lg k\times(2\lg 3 - 3\lg 2)}{\lg 2\times\lg 3}=\frac {\lg k\times\lg\frac {9}{8}}{\lg 2\times\lg 3}＞0$，故$2x＞3y$，$2x - 5z=\frac {2\lg k}{\lg 2}-\frac {5\lg k}{\lg 5}=\frac {\lg k\times(2\lg 5 - 5\lg 2)}{\lg 2\times\lg 5}=\frac {\lg k\times\lg\frac {25}{32}}{\lg 2\times\lg 5}＜0$，故$2x＜5z$. 所以$3y＜2x＜5z$.
解法二(作商法)　易知$x=\frac {\lg k}{\lg 2},y=\frac {\lg k}{\lg 3},z=\frac {\lg k}{\lg 5}$.
由$\frac {2x}{3y}=\frac {2}{3}\times\frac {\lg 3}{\lg 2}=\frac {\lg 9}{\lg 8}＞1$，得$2x＞3y$，
由$\frac {5z}{2x}=\frac {5}{2}\times\frac {\lg 2}{\lg 5}=\frac {\lg 2^{5}}{\lg 5^{2}}＞1$，得$5z＞2x$.
所以$3y＜2x＜5z$.
解法三(函数法)　易知$x=\frac {\ln k}{\ln 2},y=\frac {\ln k}{\ln 3},z=\frac {\ln k}{\ln 5}$.
设函数$f(t)=\frac {t\ln k}{\ln t}(t ＞ 0,t\neq1)$，则$f(2)=\frac {2\ln k}{\ln 2}=2x$，$f(3)=\frac {3\ln k}{\ln 3}=3y$，$f(5)=\frac {5\ln k}{\ln 5}=5z$.
$f'(t)=\frac {\ln k\cdot\ln t-\frac {1}{t}\cdot t\ln k}{(\ln t)^{2}}=\frac {(\ln t - 1)\ln k}{(\ln t)^{2}}$，
易得当$t\in(e,+\infty)$时，$f'(t)＞0$，函数$f(t)$单调递增.
因为$e＜3＜4＜5$，所以$f(3)＜f(4)＜f(5)$.
又$f(2)=\frac {2\ln k}{\ln 2}=\frac {2\times2\ln _{2}k}{2\ln 2}=\frac {4\ln _{4}k}{\ln 4}=f(4)$，
所以$f(3)＜f(2)＜f(5)$，即$3y＜2x＜5z$.

训练4　(1)[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设$x = e^{0.03},y = 1.03^{2},z=\ln(e^{0.6}+e^{0.4})$,则$x,y,z$的大小关系为　　(　　)
A. $z ＞ y ＞ x$
B. $y ＞ x ＞ z$
C. $x ＞ z ＞ y$
D. $z ＞ x ＞ y$
(2)[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数$x,y,z$满足$z\cdot\ln x = z\cdot e^{y}=1$,则下列关系式可能成立的是　　(　　)
A. $x ＞ y ＞ z$
B. $x ＞ z ＞ y$
C. $z ＞ x ＞ y$
D. $z ＞ y ＞ x$
(3)[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若$0 ＜ c ＜ b ＜ 1 ＜ a$,则下列不等式正确的是　　(　　)
A. $\log_{2024}a＞\log_{2024}b$
B. $\log_{c}a＞\log_{b}a$
C. $(c - b)a^{c}＞(c - b)a^{b}$
D. $(a - c)a^{c}＞(a - c)a^{b}$

答案：
训练4
(1)A易得$\ln x = 0.03$，$\ln y = 2\ln 1.03=2\ln(1 + 0.03)$，
令$f(x)=x - 2\ln(1 + x)(0 ＜ x＜\frac {1}{10})$，则$f'(x)=1-\frac {2}{x + 1}=\frac {x - 1}{x + 1}＜0$，
$\therefore f(x)$在$(0,\frac {1}{10})$上递减，$\therefore f(x)＜0 - 2\ln(1 + 0)=0$，则$x＜2\ln(1 + x)$，$\therefore 0.03＜2\ln(1 + 0.03)$，故$y＞x$.$y = 1.03^{2}=1.0609$，$z=\ln(e^{0.6}+e^{0.4})＞\ln 2\sqrt {e^{0.6 + 0.4}}=\ln 2+\ln\sqrt {e}=\ln 2+\frac {1}{2}$，易得$\ln 2＞\frac {3}{5}$，$\therefore z＞1.1$，$\therefore y＜z$. 故$z＞y＞x$，故选A.
(2)ABC　由题知实数$x,y,z$满足$\ln x = e^{y}=\frac {1}{z}$，在同一直角坐标系中分别作出函数$m=\ln n$，$m = e^{n}$，$m=\frac {1}{n}$的大致图象，如图所示，
再分别作出与$n$轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为$m = m_{1}$，$m = m_{2}$，$m = m_{3}$，如图所示.
由直线$m = m_{1}$与三个函数图象的交点情况可得$z＞x＞y$，由直线$m = m_{2}$与三个函数图象的交点情况可得$x＞z＞y$，由直线$m = m_{3}$与三个函数图象的交点情况可得$x＞y＞z$. 故选ABC.
　　　
　　　
(3)ABC对选项A:因为$a＞1＞b＞0$，且$f(x)=\log _{2024}x$为增函数，所以$f(a)＞f(b)$，即$\log _{2024}a＞\log _{2024}b$，故A正确.
对选项B:因为$a＞1＞b＞c＞0$，所以$\log _{a}c＜\log _{a}b＜0$，
所以$\frac {1}{\log _{a}c}＞\frac {1}{\log _{a}b}$，即$\log _{c}a＞\log _{b}a$，故B正确.
对选项C,D:由题意易知$a^{c}＜a^{b}$且$c - b＜0$，$a - c＞0$，
所以$(c - b)a^{c}＞(c - b)a^{b}$，$(a - c)a^{c}＜(a - c)a^{b}$，
所以C正确，D错误. 故选ABC.