《2025年高考帮数学》

训练　[2024广东七校联考/10分]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\frac{\sqrt{3}c}{bcos A}$ = tan A + tan B。
(1)求B；
(2)若c = 4，求△ABC面积的取值范围。

答案： 大题规范3　解三角形
训练
(1)由正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}c}{b\cos A}=\frac{\sqrt{3}\sin C}{\sin B\cos A}$。　　　　　　(1分)
又$\tan A+\tan B=\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\cos A\cos B}=\frac{\sin(A + B)}{\cos A\cos B}=\frac{\sin(\pi - C)}{\cos A\cos B}=\frac{\sin C}{\cos A\cos B}$，$\frac{\sqrt{3}c}{b\cos A}=\tan A+\tan B$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
所以$\frac{\sqrt{3}\sin C}{\sin B\cos A}=\frac{\sin C}{\cos A\cos B}$。
由$C\in(0,\pi)$，可得$\sin C＞0$，所以$\tan B=\sqrt{3}$。
又$B\in(0,\pi)$，所以$B = \frac{\pi}{3}$(求角时一定要先确定角的范围)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)解法一　由
(1)知$B=\frac{\pi}{3}$，又$c=4$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}a$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
由$B=\frac{\pi}{3}$，$A+B+C=\pi$，可得$A+C=\frac{2\pi}{3}$，则$A=\frac{2\pi}{3}-C$。
因为$\triangle ABC$是锐角三角形，所以$0＜C＜\frac{\pi}{2}$，$0＜A=\frac{2\pi}{3}-C＜\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{6}＜C＜\frac{\pi}{2}$(注意锐角三角形的限制)。　　　　　　　　　(7分)
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$且$c=4$，得$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{4\sin A}{\sin C}=\frac{4\sin(\frac{2\pi}{3}-C)}{\sin C}=\frac{2\sqrt{3}}{\tan C}+2$。　　　　　　　　　　　　　　(8分)
因为$\frac{\pi}{6}＜C＜\frac{\pi}{2}$，所以$\tan C＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$0＜\frac{1}{\tan C}＜\sqrt{3}$，所以$2＜\frac{2\sqrt{3}}{\tan C}+2＜8$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
所以$2\sqrt{3}＜S_{\triangle ABC}＜8\sqrt{3}$，即$\triangle ABC$面积的取值范围为$(2\sqrt{3},8\sqrt{3})$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
解法二　由
(1)知$B=\frac{\pi}{3}$，又$c=4$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\sqrt{3}a$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
由$B=\frac{\pi}{3}$，$c=4$，结合余弦定理，得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\frac{\pi}{3}=a^{2}-4a + 16$。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)
$\triangle ABC$为锐角三角形应满足$\begin{cases}\cos A＞0\\\cos B＞0\\\cos C＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}b^{2}+c^{2}＞a^{2}\\a^{2}+c^{2}＞b^{2}\\a^{2}+b^{2}＞c^{2}\end{cases}$，$\begin{cases}a^{2}-4a + 16+16＞a^{2}\\a^{2}+16＞a^{2}-4a + 16\\a^{2}+a^{2}-4a + 16＞16\end{cases}$，解得$2＜a＜8$。　　　　　　　　　(9分)
所以$2\sqrt{3}＜S_{\triangle ABC}＜8\sqrt{3}$，即$\triangle ABC$面积的取值范围为$(2\sqrt{3},8\sqrt{3})$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)