《2025年高考帮数学》

训练2 (1)设集合P = {y|y = x² + 1}，M = {x|y = x² + 1}，则集合M与集合P的关系是 ( )
A. M = P
B. P∈M
C. M⫋P
D. P⫋M

答案： 高考帮训练2
(1)D
∵P = {y|y = x² + 1} = {y|y≥1},M = {x|y = x² + 1} = R,
∴ P⫋M.故选D.

训练2 (2)已知集合A = {x| - 2≤x≤5}，B = {x|m + 1≤x≤2m - 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.

答案： 高考帮
(2)( - ∞,3]　因为B⊆A,所以分以下两种情况:
①若B = ∅,则2m - 1 ＜ m + 1,此时m ＜ 2;
②若B≠∅,则$\begin{cases}2m - 1≥m + 1 \\ m + 1≥ - 2 \\ 2m - 1≤5\end{cases}$,解得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为( - ∞,3].

例3 (1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M = { - 2, - 1,0,1,2}，N = {x|x² - x - 6≥0}，则M∩N = ( )
A. { - 2, - 1,0,1}
B. {0,1,2}
C. { - 2}
D. {2}

答案： 高考帮例3
(1)C　解法一　因为N = {x|x² - x - 6≥0} = {x|x≥3或x≤ - 2},所以M∩N = { - 2},故选C.
解法二　因为1∉N,所以1∉M∩N,排除A,B;因为2∉N,所以2∉M∩N,排除D.故选C.

例3 (2)[2023全国卷甲]设全集U = Z，集合M = {x|x = 3k + 1,k∈Z}，N = {x|x = 3k + 2,k∈Z}，则∁U(M∪N) = ( )
A. {x|x = 3k,k∈Z}
B. {x|x = 3k - 1,k∈Z}
C. {x|x = 3k - 2,k∈Z}
D. ∅

答案： 高考帮
(2)A　解法一　M = {…, - 2,1,4,7,10,…},N = {…, - 1,2,5,8,11,…},所以M∪N = {…, - 2, - 1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以∁U(M∪N) = {…, - 3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N) = {x|x = 3k,k∈Z},故选A.
解法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集,故选A.

例4 (1)[全国卷Ⅰ]设集合A = {x|x² - 4≤0}，B = {x|2x + a≤0}，且A∩B = {x| - 2≤x≤1}，则a = ( )
A. - 4
B. - 2
C. 2
D. 4

答案： 高考帮例4
(1)B　易知A = {x| - 2≤x≤2},B = {x|x≤ - $\frac{a}{2}$},因为A∩B = {x| - 2≤x≤1},所以 - $\frac{a}{2}$ = 1,解得a = - 2.故选B.

例4 (2)已知集合A = {x|y = ln(1 - x²)}，B = {x|x≤a}，若(∁RA)∪B = R，则实数a的取值范围为 ( )
A. (1, + ∞)
B. [1, + ∞)
C. ( - ∞,1)
D. ( - ∞,1]

答案： 高考帮
(2)B　由题可知A = {x|y = ln(1 - x²)} = {x| - 1 ＜ x ＜ 1},∁RA = {x|x≤ - 1或x≥1},所以由(∁RA)∪B = R,B = {x|x≤a},得a≥1.

训练3 (1)[2023全国卷乙]设集合U = R，集合M = {x|x＜1}，N = {x| - 1＜x＜2}，则{x|x≥2} = ( )
A. ∁U(M∪N)
B. N∪∁UM
C. ∁U(M∩N)
D. M∪∁UN

答案： 高考帮训练3
(1)A　由题意知M∪N = {x|x ＜ 2},所以∁U(M∪N) = {x|x≥2},故选A.

训练3 (2)[2023江西省联考]已知集合A = {(x,y)|(x - 1)² + y² = 1}，B = {(x,y)|kx - y - 2＜0}．若A∩B = A，则实数k的取值范围是 ( )
A. ( - ∞,$\frac{3}{4}$)
B. ($\frac{3}{4}$,3)
C. ($\frac{3}{4}$, + ∞)
D. ( - ∞,$\frac{3}{4}$

答案： 高考帮
(2)A　因为A∩B = A,所以A⊆B,则圆(x - 1)² + y² = 1在直线y = kx - 2的上方,则$\begin{cases}k×1 - 2 ＜ 0 \\ \frac{|k×1 - 0 - 2|}{\sqrt{k² + ( - 1)²}}＞1\end{cases}$,解得k ＜ $\frac{3}{4}$.

例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8

答案：
高考帮例5C　解法一　由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90 - 80 + 60 = 70,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100 = 0.7.故选C.
解法二　用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系,如图,

易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70,所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为$\frac{70}{100}$ = 0.7.故选C.