《2025年高考帮数学》

|量词名称|常见的量词|表示符号|

答案： ⑦∀ ⑧∃ ⑨∀x∈M,p(x) ⑩∃x∈M,p(x) ⑪∀x∈M,¬p(x)

1.下列说法不正确的是 ( )
A.$p$是$q$的充分不必要条件等价于$q$是$p$的必要不充分条件
B.“三角形的内角和为$180^{\circ}$”是全称量词命题
C.已知集合$A,B,A\cup B = A\cap B$的充要条件是$A = B$
D.命题“$\exists x\in\mathbf{R},\sin^{2}\frac{x}{2}+\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$”是真命题

答案： 1.D

2.“$x$是整数”是“$2x + 1$是整数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A若x是整数，则2x+1是整数；当x=$\frac{1}{2}$时，2x+1是整数，但x不是整数，所以“x是整数”是“2x+1是整数”的充分不必要条件.故选A.

3.已知命题$p$：所有的三角函数都是周期函数，则$\neg p$为________________________.

答案： 3.有些三角函数不是周期函数

例1　(1)[2023天津高考]“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)[2023全国卷甲]设甲:$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta = 1$，乙:$\sin\alpha+\cos\beta = 0$，则　　　　　　　　　　(　　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：
(1)B 因为“$a^{2}=b^{2}$”$\Leftrightarrow$“$a = -b$或$a = b$”，“$a^{2}+b^{2}=2ab$”$\Leftrightarrow$“$a = b$”，所以本题可以转化为判断“$a = -b$或$a = b$”与“$a = b$”的关系，又“$a = -b$或$a = b$”是“$a = b$”的必要不充分条件，所以“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要不充分条件. 故选B.
(2)B 甲等价于$\sin^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\beta = \cos^{2}\beta$，等价于$\sin\alpha = \pm\cos\beta$，所以由甲不能推导出$\sin\alpha + \cos\beta = 0$，所以甲不是乙的充分条件；由$\sin\alpha + \cos\beta = 0$，得$\sin\alpha = -\cos\beta$，两边同时平方可得$\sin^{2}\alpha = \cos^{2}\beta = 1 - \sin^{2}\beta$，即$\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta = 1$，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件. 综上，选B.

例2　(1)若$x＞0$，则$x+\frac{2025}{x}\geqslant a$恒成立的一个充分条件是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$a＞80$
B.$a＜80$
C.$a＞100$
D.$a＜100$
(2)已知$p:\vert1 - \frac{x - 1}{3}\vert\leqslant2$，$q:x^{2}-2x + 1 - m^{2}\leqslant0$ （$m＞0$），且$q$是$p$的必要不充分条件，则实数$m$ 的取值范围为____________.

答案：
(1)B 当$x ＞ 0$时，$x+\frac{2025}{x}\geqslant2\sqrt{2025}$，当且仅当$x = \sqrt{2025}$时，“$=$”成立，因为$x+\frac{2025}{x}\geqslant a(x ＞ 0)$恒成立，所以$a\leqslant2\sqrt{2025}$，$80 ＜ 2\sqrt{2025} ＜ 100$，结合各选项知$x+\frac{2025}{x}\geqslant a$恒成立的一个充分条件为$a ＜ 80$.（注意区分“$p$是$q$的充分条件”与“$p$的充分条件是$q$”）
故选B.
(2)$[9,+\infty)$ 由$\vert1-\frac{x - 1}{3}\vert\leqslant2$，得$-2\leqslant x\leqslant10$，故$p$对应的集合为$N = \{x\mid - 2\leqslant x\leqslant10\}$. 由$x^{2}-2x + 1 - m^{2}\leqslant0(m ＞ 0)$，得$1 - m\leqslant x\leqslant1 + m$，故$q$对应的集合为$M = \{x\mid1 - m\leqslant x\leqslant1 + m,m ＞ 0\}$. 因为$q$是$p$的必要不充分条件，所以$N\subsetneqq M$，所以$\begin{cases}m ＞ 0\\1 - m\leqslant - 2,(1 - m = - 2与1 + m = 10不会同时成立)\\1 + m\geqslant10\end{cases}$，解得$m\geqslant9$，所以实数$m$的取值范围为$[9,+\infty)$.