《2025年高考帮数学》

1.设$P$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的动点,则$P$到椭圆的两个焦点的距离之和为 ( )
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 根据椭圆的定义，可知点$P$到椭圆的两个焦点的距离之和为$2\sqrt{5}$. 故选 C.

2.已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的离心率为$\frac{1}{2}$,则 ( )
A.$a^{2}=2b^{2}$
B.$3a^{2}=4b^{2}$
C.$a = 2b$
D.$3a = 4b$

答案： 由题意得，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$，又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$，$\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}$，$\therefore 4b^{2}=3a^{2}$. 故选 B.

3.[多选]下列说法正确的是 ( )
A.平面内与两个定点$F_{1},F_{2}$的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率$e$越大,椭圆就越圆
C.关于$x,y$的方程$mx^{2}+ny^{2}=1(m ＞ 0,n ＞ 0,m\neq n)$表示的曲线是椭圆
D.$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$与$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的焦距相同

答案： CD

4.[易错题]平面内一点$M$到两定点$F_{1}(-6,0),F_{2}(6,0)$的距离之和等于12,则点$M$的轨迹是____.

答案： 线段$F_{1}F_{2}$ 由题意知$|MF_{1}|+|MF_{2}| = 12$，但$|F_{1}F_{2}| = 12$，即$|MF_{1}|+|MF_{2}| = |F_{1}F_{2}|$，所以点$M$的轨迹是线段$F_{1}F_{2}$.

5.[易错题]椭圆$\frac{x^{2}}{10 - m}+\frac{y^{2}}{m - 2}=1$的焦距为4,则$m = $____.

答案： 4 或 8 当焦点在$x$轴上时，$10 - m＞m - 2＞0$，$10 - m-(m - 2)=4$，$\therefore m = 4$. 当焦点在$y$轴上时，$m - 2＞10 - m＞0$，$m - 2-(10 - m)=4$，$\therefore m = 8$.

6.已知椭圆的一个焦点为$F(6,0)$,且$B_{1},B_{2}$是短轴的两个端点,$\triangle FB_{1}B_{2}$是等边三角形,则这个椭圆的标准方程是____.

答案： $\frac{x^{2}}{48}+\frac{y^{2}}{12}=1$ 由已知得椭圆的焦点在$x$轴上，设方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$. 由一个焦点为$F(6,0)$，知$c = 6$，又$\triangle FB_{1}B_{2}$为等边三角形，$b = 2\sqrt{3}$，所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}=48$，故椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{48}+\frac{y^{2}}{12}=1$.