《2025年高考帮数学》

2.已知函数$f(x)=ax^{2}+ax + 5$的图象在$x$轴上方，则$a$的取值范围是 ( )
A.$(0,20)$
B.$[0,20)$
C.$[0,20]$
D.$[20,+\infty)$

答案： B

3.一元二次不等式$2x^{2}+mx + n＞0$的解集是$\{x|x＞3或x ＜ - 2\}$，则$m + n$的值是 ( )
A.$14$
B.$0$
C.$ - 10$
D.$ - 14$

答案： 由题意可知一元二次方程$2x^{2}+mx + n = 0$的两个根分别为$3$，$-2$，所以由根与系数的关系得$\begin{cases}-2 + 3 = -\frac{m}{2}\\-2\times3 = \frac{n}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2\\n = -12\end{cases}$，所以$m + n = -14$。故选D。

4.[多选]下列说法不正确的是 ( )
A.若不等式$ax^{2}+bx + c＜0$的解集为$(x_{1},x_{2})$，则必有$a＞0$
B.若方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$没有实数根，则不等式$ax^{2}+bx + c＞0$的解集为$\mathbf{R}$
C.不等式$ax^{2}+bx + c\leqslant0$在$\mathbf{R}$上恒成立的条件是$a ＜ 0$且$b^{2}-4ac\leqslant0$
D.$\frac{x - a}{x - b}\geqslant0\Leftrightarrow(x - a)(x - b)\geqslant0(a\neq b)$

答案： BCD

5.$\sqrt{1 + x}＜1+\frac{x}{2}$的解集为______.

答案： $[-1,0)\cup(0,+\infty)$

例1 (1)[2024江苏省苏州市模拟]一次函数$y = ax - b(a\neq0)$与二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a\neq0)$在同一坐标系中的大致图象是 ( )
　　　　　
　　　　
(2)已知二次函数$f(x)$的图象经过点$(4,3)$,且截$x$轴所得的线段长为2,若对任意$x\in\mathbf{R}$,都有$f(2 - x) = f(2 + x)$,则$f(x) = $________.

答案：
(1)B若a＞0,则一次函数y=ax−b(a≠0)为增函数,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象开口向上,故可排除A;若a＜0,则一次函数y=ax−b(a≠0)为减函数,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象开口向下,故可排除D;对于选项C,由直线可知a＜0,b＞0,从而 - $\frac{b}{2a}$＞0,即二次函数图象的对称轴应该在y轴的右侧，故应排除C.故选B.
(2)x²−4x+3因为f(2−x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x−1)(x−3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x−1)(x−3)=x²−4x+3.

例2 (1)[2024江西景德镇统考改编]若函数$f(x) = x^{2} - 3x - 4$在区间$[t,t + 2]$上的最小值为6,则实数$t = $________.
命题拓展
[变条件]若函数$f(x) = x^{2} - 3x - 4$在区间$[t,t + 2]$上的最大值为6,则实数$t = $________.
(2)若函数$f(x) = ax^{2} + (a - 3)x + 1$的单调递减区间是$[-1,+\infty)$,则$a = $________.
命题拓展
[变条件]若函数$f(x) = ax^{2} + (a - 3)x + 1$在区间$[-1,+\infty)$上单调递减,则实数$a$的取值范围是________.

答案：
(1)−4或5当t+2≤$\frac{3}{2}$,即t≤−$\frac{1}{2}$时,函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递减,则f(x)min=f(t+2)=(t+2)²−3(t+2)−4=t²+t−6=6,解得t=−4或t=3(舍去);当t≥$\frac{3}{2}$时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增,则f(x)min=f(t)=t²−3t−4=6,解得t=5或t=−2(舍去);当t＜$\frac{3}{2}$＜t+2,即−$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$时，函数f(x)min=f($\frac{3}{2}$)=−$\frac{25}{4}$≠6.综上所述,t=−4或t=5.
[命题拓展]
−2或3因为f(x)=x²−3x−4在区间[t,t+2]上的最大值为6,且其图象的对称轴方程为x=$\frac{3}{2}$,所以当$\frac{3}{2}$−t＞1,即t＜$\frac{1}{2}$时，f(x)max=f(t)=t²−3t−4=6,解得t=5(舍去)或t=−2;当$\frac{3}{2}$−t≤1,即t≥$\frac{1}{2}$时，f(x)max=f(t+2)=(t+2)²−3(t+2)−4=t²+t−6=6,解得t=−4(舍去)或t=3.综上所述,t=−2或3.
(2)−3由题意知f(x)为二次函数且a＜0,$\frac{3−a}{2a}$=−1,所以a=−3.
[命题拓展]
[−3,0]当a=0时，f(x)=−3x+1在[−1,+∞)上单调递减,满足题意;当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x=$\frac{3−a}{2a}$,由f(x)在[−1,+∞)上单调递减知$\begin{cases}a ＜ 0 \\ \frac{3 - a}{2a} \leq - 1 \end{cases}$，解得−3≤a＜0.综上,实数a的取值范围为[−3,0].