《2025年高考帮数学》

4.已知函数f(x) = 2x - 3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为______。

答案： 4.$\{ - 1,1,3,5,7\}$

命题点1 求函数的定义域

例1 （1）[2022北京高考]函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1 - x}$的定义域是________.
（2）若函数$f(1 - 2x)$的定义域为$[-1,2]$，则函数$f(x)$的定义域为________.

答案： $(-\infty,0)\cup(0,1]$ 因为$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1 - x}$，所以$x\neq0$，$1 - x\geq0$，解得$x\in(-\infty,0)\cup(0,1]$。
@@$[-3,3]$ 因为函数$f(1 - 2x)$的定义域为$[-1,2]$，所以$-1\leq x\leq2$，所以$-3\leq1 - 2x\leq3$。所以函数$f(x)$的定义域为$[-3,3]$。

命题拓展
若函数$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，则函数$f(1 - 2x)$的定义域为________.

答案： $[-\frac{1}{2},1]$ 由$-1\leq1 - 2x\leq2$，得$-\frac{1}{2}\leq x\leq1$，所以函数$f(1 - 2x)$的定义域为$[-\frac{1}{2},1]$。

训练1 （1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数$y = f(x)$的定义域是$[-2,3]$，则函数$y=\frac{f(2x + 1)}{x + 1}$的定义域是（ ）
A.$[-\frac{3}{2},-1)\cup(-1,1]$
B.$[-3,-1)\cup(-1,7]$
C.$(-1,7]$
D.$[-\frac{3}{2},-1)$

答案： A 因为函数$y = f(x)$的定义域是$[-2,3]$，所以$-2\leq2x + 1\leq3$，且$x + 1\neq0$，解得$x\in[-\frac{3}{2},-1)\cup(-1,1]$。故选A。

（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数$f(x)=\sqrt{3x - 2}+(x - 4)^0$的定义域为________.

答案： $[\frac{2}{3},4)\cup(4,+\infty)$ 要使函数$f(x)=\sqrt{3x - 2}+(x - 4)^0$有意义，则有$\begin{cases}3x - 2\geq0\\x - 4\neq0\end{cases}$，解得$x\geq\frac{2}{3}$且$x\neq4$，所以函数$f(x)=\sqrt{3x - 2}+(x - 4)^0$的定义域为$[\frac{2}{3},4)\cup(4,+\infty)$。

命题点2 求函数的解析式

例2 （1）[2024河南省内乡高中模拟]已知$f(x)$是一次函数，且$f(f(x)) = 16x - 25$，则$f(x) =$________.
（2）已知$f(x)$满足$2f(x)+f(\frac{1}{x}) = 3x - 1$，则$f(x) =$________.

答案： $4x - 5$或$-4x+\frac{25}{3}$ 设$f(x)=kx + b(k\neq0)$，则$f(f(x))=k(kx + b)+b=k^2x + kb + b = 16x - 25$，$\therefore\begin{cases}k^2 = 16\\kb + b = -25\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}k = 4\\b = -5\end{cases}$或$\begin{cases}k = -4\\b=\frac{25}{3}\end{cases}$，$\therefore f(x)=4x - 5$或$f(x)=-4x+\frac{25}{3}$。
@@$2x-\frac{1}{x}-\frac{1}{3}$ 已知$2f(x)+f(\frac{1}{x})=3x - 1$ ①，以$\frac{1}{x}$代替①中的$x(x\neq0)$，得$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{3}{x}-1$ ②，①$\times2 -$②，得$3f(x)=6x-\frac{3}{x}-1$，故$f(x)=2x-\frac{1}{x}-\frac{1}{3}$。

训练2 （1）已知$f(x^2+\frac{1}{x^2}) = x^4+\frac{1}{x^4}$，则$f(x)$的解析式为________.

答案： $f(x)=x^2 - 2,x\in[2,+\infty)$ 因为$f(x^2+\frac{1}{x^2})=(x^2+\frac{1}{x^2})^2 - 2$，所以$f(x)=x^2 - 2,x\in[2,+\infty)$。

（2）[2024安徽淮南模拟]已知$f(x)$是二次函数，且$f(x + 1)+f(x - 1) = 2x^2 - 4x + 4$，则$f(x) =$________.

答案： $x^2 - 2x + 1$ 因为$f(x)$是二次函数，所以设$f(x)=ax^2+bx + c(a\neq0)$，则有$a(x + 1)^2+b(x + 1)+c+a(x - 1)^2+b(x - 1)+c=2x^2 - 4x + 4$，即$2ax^2+2bx + 2a + 2c = 2x^2 - 4x + 4$，所以$\begin{cases}2a = 2\\2b = -4\\2a + 2c = 4\end{cases}$，所以$\begin{cases}a = 1\\b = -2\\c = 1\end{cases}$，所以$f(x)=x^2 - 2x + 1$。

（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知$f(x)$满足$3f(x)+2f(1 - x) = 4x$，则$f(x)$的解析式为________.

答案： $f(x)=4x-\frac{8}{5}$ $3f(x)+2f(1 - x)=4x$ ①，用$1 - x$代替①中的$x$可得$3f(1 - x)+2f(x)=4(1 - x)$ ②，由$3\times$①$-2\times$②可得$f(x)=4x-\frac{8}{5}$。