《2025年高考帮数学》

3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使⑫____.
注意 (1)只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.(2)两向量共线包含同向共线和反向共线两种情况.

答案： ⑫$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$

1.下列说法正确的是 ( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.单位向量都相等
C.a与b同向,且|a| ＞ |b|,则a ＞ b
D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

答案： 1.D

2.[新高考卷Ⅱ]若D为△ABC的边AB的中点,则$\overrightarrow{CB}$ = ( )
A.2$\overrightarrow{CD}$ - $\overrightarrow{CA}$
B.2$\overrightarrow{CA}$ - $\overrightarrow{CD}$
C.2$\overrightarrow{CD}$ + $\overrightarrow{CA}$
D.2$\overrightarrow{CA}$ + $\overrightarrow{CD}$

答案： 2.A 解法一 因为 D 是 AB 的中点，所以$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+2(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA})=2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$，故选 A.
解法二 因为 D 是 AB 的中点，所以$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，即$2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$，所以$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$，故选 A.

3.已知向量a,b,若|a| = 2,|b| = 4,则|a - b|的取值范围是______.

答案： 3.$[2,6]$ 由$\vert\vert\boldsymbol{a}\vert - \vert\boldsymbol{b}\vert\vert\leqslant\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert\leqslant\vert\boldsymbol{a}\vert + \vert\boldsymbol{b}\vert$，得$2\leqslant\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert\leqslant6$.

4.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a + λb与 - (b - 3a)共线,则λ = ______.

答案： 4.$-\frac{1}{3}$ 由题意知存在$k\in\mathbf{R}$，使得$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=k[ - (\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a})]$，所以$\begin{cases}\lambda = -k\\1 = 3k\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\\lambda = -\frac{1}{3}\end{cases}$.

例1　(1)下列说法正确的是　　　　　(　　　)

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,D是不共线的四点，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则四边形ABCD为平行四边形

C.$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$的充要条件是$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$

D.已知$\lambda,\mu$为实数，若$\lambda\boldsymbol{a}=\mu\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线
(2)设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$都是非零向量，下列四个条件中，使$\frac{\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}\vert}=\frac{\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{b}\vert}$成立的充分条件是　　　　　　(　　　)

A.$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$　　　　　　B.$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$

C.$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{b}$　　　　　　　D.$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$且$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert$

答案：
(1)B A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}|$且$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{DC}$，又$A$，$B$，$C$，$D$是不共线的四点，所以四边形$ABCD$为平行四边形；C错误，当$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$且$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$时还可能是$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$，所以“$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”是“$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$”的必要不充分条件；D错误，当$\lambda=\mu = 0$时，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$可以为任意向量，满足$\lambda\boldsymbol{a}=\mu\boldsymbol{b}$，但$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不一定共线。故选B。
(2)C 因为向量$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$的方向与向量$\boldsymbol{a}$的方向相同，向量$\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$的方向与向量$\boldsymbol{b}$的方向相同，且$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，所以向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$的方向相同，故可排除选项A，B，D。当$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{b}$时，$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{2\boldsymbol{b}}{|2\boldsymbol{b}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，故$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{b}$是$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$成立的充分条件。

训练1下列说法正确的是　　　　　　(　　　)
　
A.相反向量就是方向相反的向量
　
B.$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$为非零向量，若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$
　
C.若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$或$\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$

D.若$\boldsymbol{a}$为平面内的某个向量，$\boldsymbol{a}_{0}$为单位向量，则$\boldsymbol{a}=\vert\boldsymbol{a}\vert\boldsymbol{a}_{0}$

答案： B 对于A，相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C，若向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D，$\boldsymbol{a}$与$|\boldsymbol{a}|\boldsymbol{a}_{0}$的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确。故选B。