《2025年高考帮数学》

训练1　(1)[2023全国卷乙]设$z = \frac{2 + \text{i}}{1 + \text{i}^2 + \text{i}^5}$,则$\overline{z} =$　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $1 - 2\text{i}$　　　　　　　B. $1 + 2\text{i}$

C. $2 - \text{i}$　　　　　　　D. $2 + \text{i}$
(2)[2022全国卷乙]已知$z = 1 - 2\text{i}$,且$z + a\overline{z} + b = 0$,其中$a,b$为实数,则　　　　　　　(　　　)

A. $a = 1,b = -2$　　　B. $a = -1,b = 2$

C. $a = 1,b = 2$　　　　D. $a = -1,b = -2$
(3)[2023武汉市5月模拟]设复数$z$满足$\frac{z - 1}{z + 1}$为纯虚数,则$|z| =$　　　　　　　　　　(　　　)

A. 1　　　　B. $\sqrt{2}$　　　C. $\sqrt{3}$　　　D. 2

答案：
(1)B $z=\frac{2 + i}{1 + i^{2}+i^{5}}=\frac{2 + i}{1 - 1 + i}=\frac{-i(2 + i)}{-i^{2}}=1 - 2i$，所以$\overline{z}=1 + 2i$，故选B。
(2)A 由题意知$\overline{z}=1 + 2i$，所以$z + a\overline{z}+b = 1 - 2i+a(1 + 2i)+b=a + b + 1+(2a - 2)i = 0$，所以$\begin{cases}a + b + 1 = 0\\2a - 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 2\end{cases}$，故选A。
(3)A 因为$\frac{z - 1}{z + 1}$为纯虚数，所以可设$\frac{z - 1}{z + 1}=bi(b\neq0)$，则$z=\frac{1 + bi}{1 - bi}$。解法一 因为$z=\frac{(1 + bi)^{2}}{(1 - bi)(1 + bi)}=\frac{1 - b^{2}}{1 + b^{2}}+\frac{2b}{1 + b^{2}}i$，所以$|z|=\sqrt{\frac{(1 - b^{2})^{2}}{(1 + b^{2})^{2}}+\frac{(2b)^{2}}{(1 + b^{2})^{2}}}=\sqrt{\frac{1 + 2b^{2}+b^{4}}{(1 + b^{2})^{2}}}=1$，故选A。解法二 $|z|=|\frac{1 + bi}{1 - bi}|=\frac{|1 + bi|}{|1 - bi|}=\frac{\sqrt{1 + b^{2}}}{\sqrt{1+(-b)^{2}}}=1$，故选A。

例2(1)[2023新高考卷I]已知$z = \frac{1 - \text{i}}{2 + 2\text{i}}$,则$z - \overline{z} =$　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $-\text{i}$　　　B. $\text{i}$　　　　C. 0　　　　D. 1
(2)[2022全国卷甲]若$z = -1 + \sqrt{3}\text{i}$,则$\frac{z}{z\overline{z} - 1} =$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $-1 + \sqrt{3}\text{i}$　　　　　　B. $-1 - \sqrt{3}\text{i}$

C. $-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$　　　　　D. $-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$

答案：
(1)A 因为$z=\frac{1 - i}{2 + 2i}=\frac{(1 - i)^{2}}{2(1 + i)(1 - i)}=-\frac{1}{2}i$，所以$\overline{z}=\frac{1}{2}i$，所以$z-\overline{z}=-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i=-i$。故选A。
(2)C $\frac{z}{z\overline{z}-1}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)-1}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$。故选C。

训练2(1)[2022新高考卷I]若$\text{i}(1 - z) = 1$,则$z + \overline{z} =$　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. -2　　　B. -1　　　C. 1　　　　D. 2
(2)[2023重庆二调]已知复数$z$满足$z + 3 = 4\overline{z} + 5\text{i},\text{i}$是虚数单位,则$z^2 =$　　　　　　(　　　)

A. $-2\text{i}$　　B. $2\text{i}$　　　C. $1 + \text{i}$　　D. $1 - \text{i}$

答案：
(1)D 因为$i(1 - z)=1$，所以$z = 1-\frac{1}{i}=1 + i$，所以$\overline{z}=1 - i$，所以$z+\overline{z}=(1 + i)+(1 - i)=2$。故选D。
(2)B 令$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$a + bi+3 = 4a - 4bi+5i$，即$3a - 3+(5 - 5b)i = 0$，$\therefore3a - 3 = 0$，$5 - 5b = 0$，解得$a = 1$，$b = 1$，$\therefore z = 1 + i$，$\therefore z^{2}=2i$。故选B。

例3(1)[2023新高考卷II]在复平面内,$(1 + 3\text{i})(3 - \text{i})$对应的点位于　　　　　　　(　　　)

A. 第一象限　　　　　B. 第二象限

C. 第三象限　　　　　D. 第四象限
(2)[全国卷II]设复数$z_1,z_2$满足$|z_1| = |z_2| = 2,z_1 + z_2 = \sqrt{3} + \text{i}$,则$|z_1 - z_2| =$______.

答案：

(1)A 因为$(1 + 3i)(3 - i)=3 - i+9i - 3i^{2}=6 + 8i$，所以该复数在复平面内对应的点为$(6,8)$，位于第一象限，故选A。
(2)$2\sqrt{3}$ 如图所示，设复平面内复数$z_{1}$，$z_{2}$所对应的点分别为$Z_{1}$，$Z_{2}$，$O$为原点，则$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OZ_{1}}+\overrightarrow{OZ_{2}}$。由题知$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{3 + 1}=2=|OZ_{1}|=|OZ_{2}|$，所以平行四边形$OZ_{1}PZ_{2}$为菱形，且$\triangle OPZ_{1}$，$\triangle OPZ_{2}$都是正三角形，所以$\angle OZ_{2}Z_{1}=30^{\circ}$，$|Z_{1}Z_{2}|=2|OZ_{2}|\cdot\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}$，所以$|z_{1}-z_{2}|=|Z_{1}Z_{2}|=2\sqrt{3}$。

训练3(1)[2023湖北十一校联考]复数$z$满足$|z - 5| = |z - 1| = |z + \text{i}|$,则$|z| =$　　　　(　　　)

A. $\sqrt{10}$　　　　　　　B. $\sqrt{13}$

C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　　D. 5
(2)[多选/2023石家庄市三检]已知复数$z_1 = 1 + 2\text{i}$,复数$z$满足$|z - z_1| = 2$,则下列说法正确的有　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. $z_1\cdot\overline{z_1}=5$
B. $\sqrt{5}-2 ＜ |z| ＜ \sqrt{5}+2$
C. 复数$\overline{z_1}$在复平面内所对应的点为$(-1,2)$
D. 若复数$z$在复平面内所对应的点为$Z(x,y)$,则$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

答案：
(1)C 解法一 由$|z - 5|=|z - 1|$，得复数$z$对应的点到点$(5,0)$和到点$(1,0)$的距离相等，所以复数$z$对应的点在直线$x = 3$上；由$|z - 1|=|z + i|$，得复数$z$对应的点到点$(1,0)$和到点$(0,-1)$的距离相等，所以复数$z$对应的点在直线$y=-x$上。因为直线$x = 3$和直线$y=-x$的交点为$(3,-3)$，所以$z = 3 - 3i$，所以$|z|=\sqrt{3^{2}+(-3)^{2}}=3\sqrt{2}$，故选C。解法二 设$z = a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，由$|z - 5|=|z - 1|=|z + i|$，得$|a - 5 + bi|=|a - 1 + bi|=|a+(b + 1)i|$，得$\begin{cases}(a - 5)^{2}+b^{2}=(a - 1)^{2}+b^{2}\\(a - 1)^{2}+b^{2}=a^{2}+(b + 1)^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = - 3\end{cases}$，则$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=3\sqrt{2}$。
(2)AD 因为复数$z_{1}=1 + 2i$，所以$\overline{z_{1}}=1 - 2i$，其在复平面内所对应的点为$(1,-2)$，所以选项C错误；$z_{1}\cdot\overline{z_{1}}=(1 + 2i)(1 - 2i)=5$，所以选项A正确；若复数$z$在复平面内所对应的点为$Z(x,y)$，则可设复数$z = x + yi$，由$|z - z_{1}|=2$得，$|(x - 1)+(y - 2)i|=2$，即$(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$，所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数$z$在复平面内对应的点为$Z(x,y)$，则$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，其几何意义为圆$(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$上任意一点到原点的距离，圆心$(1,2)$到原点的距离为$\sqrt{5}$，半径为2，所以$\sqrt{5}-2\leqslant|z|\leqslant\sqrt{5}+2$，所以选项B错误。综上，选AD。