《2025年高考帮数学》

训练5　(1)[新高考卷Ⅰ]若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，且$f(2)=0$，则满足$xf(x - 1)\geqslant0$的$x$的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$[-1,1]\cup[3,+\infty)$
B.$[-3,-1]\cup[0,1]$
C.$[-1,0]\cup[1,+\infty)$
D.$[-1,0]\cup[1,3]$
(2)[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，对任意实数$x$，$y$满足$f(x - y)=f(x)-f(y)+1$，且$f(1)=0$，当$x ＞ 0$时，$f(x) ＜ 1$。则下列选项正确的是　　　(　　　)
A.$f(0)=1$
B.$f(2)= - 2$
C.$f(x)-1$为奇函数
D.$f(x)$为$\mathbf{R}$上的减函数
(3)已知函数$f(x)$满足$f(1)=\frac{1}{4}$，且$4f(x)f(y)=f(x + y)+f(x - y)(x,y\in\mathbf{R})$，则$f(2024)=$________。

答案： 训练5
(1)D 由题意知f(x)在( - ∞,0),(0,+∞)上单调递减,且f( - 2)=f
(2)=f
(0)=0. 当x＞0时,令f(x - 1)≥0,得0≤x - 1≤2,
∴1≤x≤3;当x＜0时,令f(x - 1)≤0,得 - 2≤x - 1≤0,
∴ - 1≤x≤1,又x＜0,
∴ - 1≤x＜0;当x = 0时,显然符合题意. 综上,原不等式的解集为[ - 1,0]∪[1,3],故选D.
(2)ACD 解法一 设f(x)=kx + 1,因为f
(1)=0,所以k = - 1,所以f(x)= - x + 1,满足x＞0时,f(x)＜1,则易得A,C,D均正确,故选ACD.
解法二 对于A,取x = y = 0,则f
(0)=f
(0)-f
(0)+1,故f
(0)=1,A正确;
对于B,取x = 0,y = 1,则f( - 1)=f
(0)-f
(1)+1=2,取x = 1,y = - 1,则f
(2)=f
(1)-f( - 1)+1= - 1,B错误;
对于C,取x = 0,则f( - y)=f
(0)-f(y)+1=2 - f(y),f( - y)-1= - [f(y)-1],则f(y)-1为奇函数,所以f(x)-1为奇函数,C正确;
对于D,当$x_{1}＞x_{2}$时,$x_{1}-x_{2}＞0,f(x_{1}-x_{2})＜1$,则$f(x_{1})-f(x_{2})=f(x_{1}-x_{2})-1＜0$,故f(x)是R上的减函数,D正确,故选ACD.
(3)$-\frac{1}{4}$ 解法一 令y = 1,得4f(x)f
(1)=f(x + 1)+f(x - 1),即f(x + 1)=f(x)-f(x - 1),f(x + 2)=f(x + 1)-f(x)= - f(x - 1),即f(x + 3)= - f(x),所以函数f(x)的周期为6,则f(2 024)=f
(2). 令x = 1,y = 0,得$f(0)=\frac{1}{2}$,由f(x + 1)=f(x)-f(x - 1),可得$f(2)=f(1)-f(0)=-\frac{1}{4}$,所以$f(2 024)=-\frac{1}{4}$.
解法二 因为f(x + y)+f(x - y)=4f(x)f(y),x,y∈R,联想到余弦函数模型cos(x + y)+cos(x - y)=2cos xcos y,两边同除以2,得$\frac{1}{2}\cos(x + y)+\frac{1}{2}\cos(x - y)=\cos x\cos y = 4\cdot\frac{1}{2}\cos x\frac{1}{2}\cos y$,故猜想$f(x)=\frac{1}{2}\cos(\omega x)$,又$f(1)=\frac{1}{4}$,则$f(1)=\frac{1}{2}\cos\omega=\frac{1}{4}$,当$\omega\in(0,\pi)$时,可得$\omega=\frac{\pi}{3}$,即$f(x)=\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3}x)$,故f(x)的周期为T = 6,所以$f(2 024)=f(2)=\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{4}$.

1.幂函数
(1)幂函数的概念
　
一般地,函数①______叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)5种常见幂函数的图象与性质

  

答案： $y = x^{\alpha}$
@@②$\{x|x\geq0\}$ ③$\{x|x\neq0\}$ ④$\{y|y\geq0\}$ ⑤$\{y|y\neq0\}$ ⑥偶函数 ⑦奇函数 ⑧在R上单调递增 ⑨在$[0, +\infty)$上单调递增 ⑩在$(-\infty,0)$和$(0, +\infty)$上单调递减 ⑪$(1,1)$