《2025年高考帮数学》

2.等比数列的前n项和
　设等比数列{aₙ}的公比为q,前n项和为Sₙ.　
(1)S_{n}=\begin{cases}②______,q = 1 \\③________=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q},q≠1\end{cases}

(2)当q≠1时,$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=-\frac{a_{1}}{1 - q}q^{n}+\frac{a_{1}}{1 - q}$,若设$α=\frac{a_{1}}{1 - q}$,则Sₙ = ④________(α≠0,q≠0;q≠1).由此可知,数列{Sₙ}的图象是函数y = - αqˣ + α的图象上一系列孤立的点,且qⁿ的系数与常数项互为相反数.

答案： ②$na_{1}$ ③$\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$
④$-aq^{n}+a$

3.等比数列的性质
　(1)等比数列项的性质
　设数列{aₙ},{bₙ}是等比数列.　
a.若m + n = k + l,则⑤__________,其中m,n,k,l∈N*,反之,不一定成立,如当数列{aₙ}是非零常数列时,此结论不成立.
b.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即$a_{k},a_{k + m},a_{k + 2m},\cdots(k,m\in N^{*})$仍是等比数列,公比为⑥____.
c.数列{$λa_{n}$},{$a_{n}^{2}$},{$\frac{1}{a_{n}}$},{$a_{n}\cdot b_{n}$}和{$\frac{a_{n}}{b_{n}}$}($λ≠0,n\in N^{*}$)也是等比数列.
　d.若aₙ＞0,则数列{lg aₙ}是等差数列.
　(2)等比数列的前n项和的性质
　设Sₙ是等比数列{aₙ}的前n项和.
　a.$S_{m + n}=S_{n}+q^{n}S_{m}=S_{m}+q^{m}S_{n}$.　
b.当q≠ - 1(或q = - 1且k为奇数)时,$S_{k},S_{2k}-S_{k},S_{3k}-S_{2k},\cdots$是⑦____数列.

答案： ⑤$a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}$
⑥$q^{m}$
⑦等比