《2025年高考帮数学》

训练3 [2022新高考卷Ⅰ]记为数列{}的前n项和，已知= 1，是公差为的等差数列。
(1)求{}的通项公式。
(2)证明：

答案： 训练3
(1)因为$a_{1}=1$，所以$\frac{S_{1}}{a_{1}}=1$，又$\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列，所以$\frac{S_{n}}{a_{n}}=1+(n - 1)\times\frac{1}{3}=\frac{n + 2}{3}$。所以$S_{n}=\frac{n + 2}{3}a_{n}$。因为当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=\frac{n + 2}{3}a_{n}-\frac{n + 1}{3}a_{n - 1}$，所以$\frac{n + 1}{3}a_{n - 1}=\frac{n - 1}{3}a_{n}(n\geqslant2)$，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{n + 1}{n - 1}(n\geqslant2)$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}\times\frac{a_{3}}{a_{2}}\times\cdots\times\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}\times\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{3}{1}\times\frac{4}{2}\times\cdots\times\frac{n}{n - 2}\times\frac{n + 1}{n - 1}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\geqslant2)$，所以$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\geqslant2)$，又$a_{1}=1$也满足上式，所以$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$。
(2)因为$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}$，所以$\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{n(n + 1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$，所以$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=2[(1 - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})]=2(1 - \frac{1}{n + 1})＜2$。

例4 已知函数f(x) = x + sin πx - 3，则f( 1 / 2025 ) + f( 2 / 2025 ) + f( 3 / 2025 ) + ⋯ + f( 4048 / 2025 ) + f( 4049 / 2025 ) = ________。

答案： - 8098 令$y = f(\frac{1}{2025})+f(\frac{2}{2025})+\cdots + f(\frac{4048}{2025})+f(\frac{4049}{2025})$ ①，$y = f(\frac{4049}{2025})+f(\frac{4048}{2025})+\cdots + f(\frac{2}{2025})+f(\frac{1}{2025})$ ②，①+②，得$2y=[f(\frac{1}{2025})+f(\frac{4049}{2025})]+[f(\frac{2}{2025})+f(\frac{4048}{2025})]+\cdots+[f(\frac{4048}{2025})+f(\frac{2}{2025})]+[f(\frac{4049}{2025})+f(\frac{1}{2025})]$。因为$f(x)+f(2 - x)=x+\sin\pi x - 3+(2 - x)+\sin[\pi(2 - x)]-3=-4$，所以$2y=-4\times4049$，故$y=-8098$。

训练4 已知数列{}的通项 = (2n - 100) / (2n - 101)，则a₁ + a₂ + ⋯ + a₁₀₀ = ( )
A.98
B.99
C.100
D.101

答案： C 因为$a_{n}=\frac{2n - 100}{2n - 101}$，所以$a_{n}+a_{101 - n}=\frac{2n - 100}{2n - 101}+\frac{2(101 - n)-100}{2(101 - n)-101}=\frac{2n - 100}{2n - 101}+\frac{102 - 2n}{101 - 2n}=\frac{4n - 202}{2n - 101}=2$，所以$a_{1}+a_{100}=a_{2}+a_{99}=\cdots=a_{100}+a_{1}=2$，所以$a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{100}=50\times2=100$。

例1　[全国卷II]已知数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=1,b_{1}=0,4a_{n + 1}=3a_{n}-b_{n}+4,4b_{n + 1}=3b_{n}-a_{n}-4$.
(1)证明：$\{ a_{n}+b_{n}\}$是等比数列，$\{ a_{n}-b_{n}\}$是等差数列.
(2)求$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的通项公式.

答案：
(1)由题设得4(a_{n + 1}+b_{n + 1}) = 2(a_{n}+b_{n})，即a_{n + 1}+b_{n + 1}=\frac{1}{2}(a_{n}+b_{n})。因为a_{1}+b_{1}=1，所以{a_{n}+b_{n}}是首项为1，公比为\frac{1}{2}的等比数列。
由题设得4(a_{n + 1}-b_{n + 1}) = 4(a_{n}-b_{n}) + 8，即a_{n + 1}-b_{n + 1}=a_{n}-b_{n}+2。因为a_{1}-b_{1}=1，所以{a_{n}-b_{n}}是首项为1，公差为2的等差数列。
(2)由
(1)知，a_{n}+b_{n}=\frac{1}{2^{n - 1}}，a_{n}-b_{n}=2n - 1，
所以a_{n}=\frac{1}{2}[(a_{n}+b_{n})+(a_{n}-b_{n})]=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}，
b_{n}=\frac{1}{2}[(a_{n}+b_{n})-(a_{n}-b_{n})]=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}。