《2025年高考帮数学》

例1 (1)在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=3a_{n}-2^{n - 1}$，则$a_{n}=$_______.
(2)设数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=3a_{n}-4n$，则$a_{n}=$_______.

答案：
(1)$2^{n - 1}$ 因为$a_{n + 1} = 3a_{n} - 2^{n - 1}$,所以$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{1}{4}$,即$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{1}{2})$.因为$\frac{a_{1}}{2^{1}}-\frac{1}{2}=0$,所以$\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{1}{2}=0$,故$a_{n}=2^{n - 1}$.
(2)$2n + 1$ 由已知可得$a_{n + 1}-(2n + 3)=3[a_{n}-(2n + 1)],a_{n}-(2n + 1)=3[a_{n - 1}-(2n - 1)],\cdots,a_{2}-5 = 3(a_{1}-3)$.因为$a_{1}=3$,所以$a_{n}=2n + 1$.

命题拓展
[变条件]若例1(2)中的$a_{1}=4$，则$a_{n}=$_______.

答案： $3^{n - 1}+2n + 1$ 设$a_{n + 1}+x(n + 1)+y = 3(a_{n}+xn + y)$,则展开利用对应项系数相等可得出$x=-2,y=-1$,所以$\{a_{n}-2n - 1\}$是以$a_{1}-2 - 1 = 1$为首项,3为公比的等比数列,所以$a_{n}-2n - 1 = 3^{n - 1}$,所以$a_{n}=3^{n - 1}+2n + 1$.

训练1 在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=5$，$a_{n + 1}=3a_{n}-4$，则$a_{n}=$_______.

答案： $3^{n}+2$ 由$a_{n + 1}=3a_{n}-4$,可得$a_{n + 1}-2 = 3(a_{n}-2)$,又$a_{1}=5$,所以$\{a_{n}-2\}$是以$a_{1}-2 = 3$为首项,3为公比的等比数列,所以$a_{n}-2 = 3^{n}$,所以$a_{n}=3^{n}+2$.

例2 [多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2 + 3a_{n}}$，则下列结论正确的有( )
A. $\{\frac{1}{a_{n}}+3\}$为等比数列
B. $\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{2^{n + 1}-3}$
C. $\{a_{n}\}$为递增数列
D. $\{\frac{1}{a_{n}}\}$的前$n$项和$T_{n}=2^{n + 2}-3n - 4$

答案： ABD 因为$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2 + 3a_{n}}$,所以$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{2 + 3a_{n}}{a_{n}}=\frac{2}{a_{n}}+3$,所以$\frac{1}{a_{n + 1}}+3 = 2(\frac{1}{a_{n}}+3)$.又$\frac{1}{a_{1}}+3 = 4$,所以数列$\{\frac{1}{a_{n}}+3\}$是以4为首项,2为公比的等比数列,所以$\frac{1}{a_{n}}+3 = 4\times2^{n - 1}=2^{n + 1}$,即$a_{n}=\frac{1}{2^{n + 1}-3}$,故A,B正确.因为$a_{n + 1}-a_{n}=\frac{1}{2^{n + 2}-3}-\frac{1}{2^{n + 1}-3}=\frac{(2^{n + 1}-3)-(2^{n + 2}-3)}{(2^{n + 2}-3)(2^{n + 1}-3)}=\frac{-2^{n + 1}}{(2^{n + 2}-3)(2^{n + 1}-3)},n\geq1$,所以$2^{n + 2}-3＞0,2^{n + 1}-3＞0,-2^{n + 1}＜0$,所以$a_{n + 1}-a_{n}＜0$,所以$\{a_{n}\}$为递减数列,故C错误.易知$\frac{1}{a_{n}}=2^{n + 1}-3$,则$T_{n}=(2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{n + 1})-3n=\frac{4(1 - 2^{n})}{1 - 2}-3n=2^{n + 2}-3n - 4$,故D正确.故选ABD.

训练2 (1)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+2}$，则$a_{10}=$ ( )
A. $\frac{1}{1021}$ B. $\frac{1}{1022}$ C. $\frac{1}{1023}$ D. $\frac{1}{1024}$
(2)已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{2a_{n}}{a_{n}+2}$，则$a_{n}=$_______.

答案：
(1)C 由$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+2}$,两边同时取倒数得$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{a_{n}+2}{a_{n}}=\frac{2}{a_{n}}+1$,则$\frac{1}{a_{n + 1}}+1 = 2(\frac{1}{a_{n}}+1)$,所以数列$\{\frac{1}{a_{n}}+1\}$是以2为公比的等比数列,则$\frac{1}{a_{n}}+1 = (\frac{1}{a_{1}}+1)\cdot2^{n - 1}=2^{n}$,所以$a_{n}=\frac{1}{2^{n}-1}$,故$a_{10}=\frac{1}{2^{10}-1}=\frac{1}{1023}$.故选C.
(2)$\frac{2}{n + 1}$ 依题意知$a_{n}\neq0$,由$a_{n + 1}=\frac{2a_{n}}{a_{n}+2}$可得$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{a_{n}+2}{2a_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n}}$,即$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}$,又$a_{1}=1$,可知数列$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是以$\frac{1}{a_{1}} = 1$为首项,$\frac{1}{2}$为公差的等差数列,则$\frac{1}{a_{n}}=1+\frac{1}{2}(n - 1)=\frac{n + 1}{2}$,即$a_{n}=\frac{2}{n + 1}$.

例3 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=5a_{n}-6a_{n - 1}(n\geqslant2)$，且$a_{1}=1$，$a_{2}=4$，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式为____________.

答案： $a_{n}=2\times3^{n - 1}-2^{n - 1}$ 解法一 当$n\geq2$时,令$a_{n + 1}-xa_{n}=y(a_{n}-xa_{n - 1})$,即$a_{n + 1}=(x + y)a_{n}-xya_{n - 1}$.于是得$\begin{cases}x + y = 5\\-xy=-6\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$.当$x = 2,y = 3$时,$a_{n + 1}-2a_{n}=3(a_{n}-2a_{n - 1})(n\geq2)$.由于$a_{2}-2a_{1}=2\neq0$,所以数列$\{a_{n + 1}-2a_{n}\}$是以2为首项,3为公比的等比数列,即$a_{n + 1}-2a_{n}=2\times3^{n - 1}$ ①.当$x = 3,y = 2$时,$a_{n + 1}-3a_{n}=2(a_{n}-3a_{n - 1})(n\geq2)$.由于$a_{2}-3a_{1}=1\neq0$,所以数列$\{a_{n + 1}-3a_{n}\}$是以1为首项,2为公比的等比数列,即$a_{n + 1}-3a_{n}=2^{n - 1}$ ②.由① - ②得$a_{n}=2\times3^{n - 1}-2^{n - 1}$.
解法二 当$n\geq2$时,由$a_{n + 1}=5a_{n}-6a_{n - 1}$得$a_{n + 1}-2a_{n}=3a_{n}-6a_{n - 1}$,即$a_{n + 1}-2a_{n}=3(a_{n}-2a_{n - 1})$,因为$a_{2}-2a_{1}=2\neq0$,所以数列$\{a_{n + 1}-2a_{n}\}$是以2为首项,3为公比的等比数列,所以$a_{n + 1}-2a_{n}=2\times3^{n - 1}$,两边同除以$2^{n + 1}$,得$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{n - 1}$.所以$\frac{a_{n}}{2^{n}}=(\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}})+(\frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}}-\frac{a_{n - 2}}{2^{n - 2}})+\cdots+(\frac{a_{2}}{2^{2}}-\frac{a_{1}}{2^{1}})+\frac{a_{1}}{2^{1}}=\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{n - 2}+\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{n - 3}+\cdots+\frac{1}{2}\times(\frac{3}{2})^{0}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1 - (\frac{3}{2})^{n - 1}}{1-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}=(\frac{3}{2})^{n - 1}-\frac{1}{2}$.故$a_{n}=2\times3^{n - 1}-2^{n - 1}$.

训练3 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，且对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$，都有$a_{n + 2}=3a_{n + 1}-2a_{n}$. 则$\{a_{n}\}$的通项公式为_______.

答案： $a_{n}=2^{n - 1}$ 由$a_{n + 2}=3a_{n + 1}-2a_{n}$,得$a_{n + 2}-a_{n + 1}=2(a_{n + 1}-a_{n})$,又$a_{2}-a_{1}=1$,易知$a_{n + 1}-a_{n}\neq0$,所以$\frac{a_{n + 2}-a_{n + 1}}{a_{n + 1}-a_{n}}=2$,所以数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$是以1为首项,2为公比的等比数列.所以$a_{n + 1}-a_{n}=2^{n - 1}$,所以$a_{n}=(a_{n}-a_{n - 1})+(a_{n - 1}-a_{n - 2})+\cdots+(a_{3}-a_{2})+(a_{2}-a_{1})+a_{1}=2^{n - 2}+2^{n - 3}+\cdots+2^{1}+2^{0}+1=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{n - 3}+2^{n - 2}+1=2^{0}\times\frac{2^{n - 1}-1}{2 - 1}+1=2^{n - 1}$,所以$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2^{n - 1}$.

例1 [2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1 = 240 dm²，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2 = 180 dm²，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么∑k=1nSk = ________dm².

答案： 5 240(3 - $\frac{n + 3}{2^{n}}$) 依题意得，$S_{1}=120×2 = 240(dm^{2})$；$S_{2}=60×3 = 180(dm^{2})$；当$n = 3$时，共可以得到$5dm×6dm$，$\frac{5}{2}dm×12dm$，$10dm×3dm$，$20dm×\frac{3}{2}dm$四种规格的图形，且面积均为$30dm^{2}$，所以$S_{3}=30×4 = 120(dm^{2})$；当$n = 4$时，共可以得到$5dm×3dm$，$\frac{5}{2}dm×6dm$，$\frac{5}{4}dm×12dm$，$10dm×\frac{3}{2}dm$，$20dm×\frac{3}{4}dm$五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为$15dm^{2}$，所以$S_{4}=15×5 = 75(dm^{2})$；……所以可归纳$S_{k}=\frac{240}{2^{k}}×(k + 1)=\frac{240(k + 1)}{2^{k}}$。所以$\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(1+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\cdots+\frac{n}{2^{n - 1}}+\frac{n + 1}{2^{n}})$ ①，所以$\frac{1}{2}×\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\frac{4}{2^{4}}+\cdots+\frac{n}{2^{n}}+\frac{n + 1}{2^{n + 1}})$ ②，由① - ②得，$\frac{1}{2}×\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n + 1}{2^{n + 1}})=240\{1+\frac{\frac{1}{2^{2}}[1 - (\frac{1}{2})^{n - 1}]}{1 - \frac{1}{2}}-\frac{n + 1}{2^{n + 1}}\}=240(\frac{3}{2}-\frac{n + 3}{2^{n + 1}})$，所以$\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(3 - \frac{n + 3}{2^{n}})(dm^{2})$。