《2025年高考帮数学》

1.下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线

B.若抛物线过点$P(-2,3)$,则其标准方程可写为$y^{2}=2px(p ＞ 0)$

C.抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形

D.方程$y = ax^{2}(a\neq0)$表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线,且其准线方程为$y = -\frac{1}{4a}$

答案： 1.D

2.抛物线$y = 4x^{2}$的焦点坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.$(0,\frac{1}{16})$　　　　　
　B.$(0,\frac{1}{4})$　　　　　
　C.$(0,1)$　　　　　
　D.$(1,0)$

答案： 2.A化抛物线的方程为标准形式,得$x^2 = \frac{1}{4}y$，所以$p = \frac{1}{8}$，(本题在解答过程中若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到$p = 2$，从而错选C)
抛物线的焦点坐标为$(0,\frac{1}{16})$，故选A.

3.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中,开口朝左的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.$y^{2}=5x$　　　　　
　B.$x^{2}=-5y$　　　　
　C.$y^{2}=-5x$　　　　
　D.$x^{2}=5y$

答案： 3.C抛物线$y^2 = 5x$的开口朝右，抛物线$x^2 = -5y$的开口朝下，抛物线$y^2 = -5x$的开口朝左，抛物线$x^2 = 5y$的开口朝上.故选C.

4.若抛物线$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点是椭圆$\frac{x^{2}}{3p}+\frac{y^{2}}{p}=1$的一个焦点,则$p =$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.2　　　　　　　
　B.3　　　　　　　
　C.4　　　　　　　
　D.8

答案： 4.D由题意,知抛物线的焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$，椭圆的焦点坐标为$(\pm\sqrt{2p},0)$，所以$\frac{p}{2}=\sqrt{2p}$，解得$p = 8$，故选D.

5.已知抛物线$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为F,点$M(2,2\sqrt{2})$为抛物线上一点,则$|MF| =$　　　　　　　　　(　　　)

A.2　　　　　　　
　B.3　　　　　　　
　C.4　　　　　　　
　D.5

答案： 5.B因为点$M(2,2\sqrt{2})$为抛物线上一点，所以将点$M$的坐标代入抛物线的方程$y^2 = 2px(p＞0)$，可得$p = 2$，所以抛物线的方程为$y^2 = 4x$，可得其准线方程为$x = -1$.根据抛物线的定义,得$|MF| = 2 - (-1) = 3$.故选B.

例1 （1）[全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C:$y^{2}=2px(p ＞ 0)$上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p = （ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
（2）[2022全国卷乙]设F为抛物线C:$y^{2}=4x$的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF| = |BF|，则|AB| = （ ）
A. 2 B. $2\sqrt{2}$
C. 3 D. $3\sqrt{2}$

答案：
（1）C 根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x = - $\frac{p}{2}$的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以$\frac{p}{2}$ = 12 - 9，解得p = 6. 故选C.
（2）B 解法一 如图，由题意可知F(1,0)，设A($\frac{y_{0}^{2}}{4}$, $y_{0}$)，则由抛物线的定义可知|AF| = $\frac{y_{0}^{2}}{4}$ + 1. 因为|BF| = 3 - 1 = 2，所以由|AF| = |BF|，可得$\frac{y_{0}^{2}}{4}$ + 1 = 2，解得$y_{0}$ = ±2，所以A(1,2)或A(1,-2). 不妨取A(1,2)，则|AB| = $\sqrt{(1 - 3)^{2}+(2 - 0)^{2}}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$，故选B.

解法二 由题意可知F(1,0)，|BF| = 2，所以|AF| = 2. 因为抛物线的通径长为2p = 4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB| = $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$，故选B.