《2025年高考帮数学》

(3)平面向量共线的坐标表示
　如果$\boldsymbol{a}=(x_{1},y_{1}),\boldsymbol{b}=(x_{2},y_{2})$,那么$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件为⑧____________.

答案： ⑧$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$

1.下列说法正确的是 (　　)
A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底
B.设$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$是平面内的一个基底,若实数$\lambda_{1},\mu_{1},\lambda_{2},\mu_{2}$满足$\lambda_{1}\boldsymbol{a}+\mu_{1}\boldsymbol{b}=\lambda_{2}\boldsymbol{a}+\mu_{2}\boldsymbol{b}$,则$\lambda_{1}=\lambda_{2},\mu_{1}=\mu_{2}$
C.若$\boldsymbol{a}=(x_{1},y_{1}),\boldsymbol{b}=(x_{2},y_{2})$,则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件可以表示成$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$
D.平面向量经过平移后其坐标改变

答案： 1.B对于A,共线向量不可以作为基底，故A错误;对于B,同一向量在给定基底下的分解是唯一的，B正确;对于C,若$b=(0,0)$,则$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$无意义，故C错误;对于D,平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.

2.[教材改编]已知$M(-2,7),N(10,-2)$,点$P$是线段$MN$上的点,且$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM}$,则点$P$的坐标为 (　　)
A.$(2,4)$
B.$(-14,16)$
C.$(6,1)$
D.$(2,-11)$

答案： 2.A设$P(x,y)$,则$\overrightarrow{PN}=(10 - x,-2 - y),\overrightarrow{PM}=(-2 - x,7 - y)$,又$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM}$,所以$\begin{cases}10 - x=-2(-2 - x)\\-2 - y=-2(7 - y)\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$,所以点P的坐标为$(2,4)$.故选A.

3.已知$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$不共线,$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}_{1}+\lambda\boldsymbol{e}_{2}$,要使$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$能作为平面内所有向量的一个基底,则实数$\lambda$的取值范围是______.

答案： 3.$(-\infty,4)\cup(4,+\infty)$

例1
（1）[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则$\overrightarrow{EB}$ = （ ）
A. $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ B. $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
C. $\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ D. $\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
（2）如图，在直角梯形ABCD中，$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，
　　　　　　　　　　
且$\overrightarrow{AE}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD}$，则2r + 3s = （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： 高考帮
例1
(1)A 解法一 根据向量的运算法则可得，在△ABE中，$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}$。因为E为AD的中点，所以$\overrightarrow{EA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$，在△ABD中，$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AB}$。因为D为BC的中点，所以$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$。在△ABC中，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$。逐步代入，可得$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。故选A。
解法二 由D为BC的中点，得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，由E为AD的中点，得$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。在△ABE中，$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。故选A。
(2)C 根据题图，由题意可得$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$。因为$\overrightarrow{AE}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD}$，所以$r = \frac{1}{2}$，$s = \frac{2}{3}$，所以$2r + 3s = 1 + 2 = 3$。故选C。

训练1
（1）[2024昆明市模拟]在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（ ）
A. $\overrightarrow{AT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ B. $\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
C. $\overrightarrow{AT}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ D. $\overrightarrow{AT}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
（2）[2024广东省模拟]已知△OAB中，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{DB}$，AD与BC相交于点M，$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则有序数对(x,y)= （ ）
A. ($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$) B. ($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$)
C. ($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{4}$) D. ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$)

答案：
训练1
(1)A 因为四边形ABCD是平行四边形，所以$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$。因为T为CD的中点，所以$\overrightarrow{DT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DT}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，故选A。
(2)D 如图，依题意A，M，D三点共线，故$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\lambda(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+\lambda(\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\frac{2\lambda}{3}\overrightarrow{OB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{OA}$，又C，M，B三点共线，故$\overrightarrow{CM}=\mu\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}+\mu\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OC}+\mu(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=(1 - \mu)\overrightarrow{OC}+\mu\overrightarrow{OB}=\frac{1 - \mu}{2}\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，所以$\begin{cases}\frac{1 - \mu}{2}=1 - \lambda\\\mu=\frac{2\lambda}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{3}{4}\\\mu=\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$，又$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，所以$\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$，所以有序数对$(x,y)=(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$。故选D。

例2
（1）[全国卷Ⅰ]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量$\overrightarrow{AC}=(-4,-3)$，则向量$\overrightarrow{BC}$ = （ ）
A. (-7,-4) B. (7,4)
C. (-1,4) D. (1,4)
（2）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，以a,b为基底，则（ ）
A. c = -2a + 3b B. c = -3a + 2b
C. c = 3a - 2b D. c = 2a - 3b
　　　　　　　　　　　　　

答案：
例2
(1)A 因为$\overrightarrow{AB}=(3,2)-(0,1)=(3,1)$，所以$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4)$。故选A。
(2)C 建立如图所示的平面直角坐标系，则$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,3)$，$\boldsymbol{c}=(7,-3)$。设$\boldsymbol{c}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，则$\begin{cases}x - 2y = 7\\x + 3y = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = - 2\end{cases}$，故$\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$。故选C。