《2025年高考帮数学》

例2(1)[多选]P是△ABC所在平面内一点，且满足$\vert\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PC}\vert-\vert\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PA}\vert = 0$，则△ABC不可能是　　　　　　　　　　　(　　　)

A.钝角三角形　　　　B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　D.等边三角形
(2)[全国卷I]设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为单位向量，且$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert = 1$，则$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert =$_______.

答案：

(1)AD 设$D$为边$BC$的中点，则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PD}$，由已知有$|\overrightarrow{CB}| = |2\overrightarrow{PD}-2\overrightarrow{PA}| = |2\overrightarrow{AD}|$，所以$\triangle ABC$为直角三角形，故选AD。
(2)$\sqrt{3}$ 解法一 如图，四边形$OACB$为平行四边形，设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，利用平行四边形法则得$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\because|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 1$，$\therefore\triangle OAC$为正三角形，$\therefore|\overrightarrow{BA}| = |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}$。

解法二 $\because\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$为单位向量，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 1$，$\therefore(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=1$，$\therefore1 + 1+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，$\therefore\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}$，$\therefore|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1 + 1-2\times(-\frac{1}{2}) = 3$，$\therefore|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$。

例3[2022新高考卷I]在△ABC中，点D在边AB上，BD = 2DA.记$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m},\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB}=$　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.3$\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$　　　　　　B.-2$\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

C.3$\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$　　　　　　D.2$\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

答案： B 因为$BD = 2DA$，所以$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+3(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA})=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$。故选B。

例4　在△ABC中，点D在线段BC上，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，点O在线段CD上（与点C,D不重合）.若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+(1 - x)\overrightarrow{AC}$，则x的取值范围是(　　　)
A.(0,1)　B.($\frac{2}{3}$,1)　C.(0,$\frac{1}{3}$)　D.($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$)

答案： C 设$\overrightarrow{BO}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\lambda\in(\frac{2}{3},1)$，则$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{BC}=(1 - \lambda)\overrightarrow{AB}+\lambda\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+(1 - x)\overrightarrow{AC}$，则$x = 1 - \lambda\in(0,\frac{1}{3})$。故选C。

训练2(1)[多选]在梯形ABCD中，AB//CD，AB = 2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
B.$\vert\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}\vert = 0$

C.$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

D.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{0}$
(2)在△ABC中，AB = 2，BC = 3$\sqrt{3}$，∠ABC = 30°，AD为BC边上的高.若$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda - \mu =$_______.

答案：

(1)ABD 对于A，$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，故A正确。对于B，由题知$\frac{CO}{AO}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，所以$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，故$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OC}| = 0$，故B正确。对于C，$\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}(\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{CD})=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{CD}$，故C错误。对于D，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$，故D正确。故选ABD。
(2)$\frac{1}{3}$ 如图，$\because AD$为$BC$边上的高，$\therefore AD\perp BC$。$\because AB = 2$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$\therefore BD=\sqrt{3}=\frac{1}{3}BC$，$\therefore\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

又$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，$\therefore\lambda=\frac{2}{3}$，$\mu=\frac{1}{3}$，故$\lambda-\mu=\frac{1}{3}$。

例5　(1)已知O为△ABC内一点，且$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$，$\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AC}$，若B,O,D三点共线，则t =　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.$\frac{1}{4}$　　　B.$\frac{1}{3}$　　　C.$\frac{1}{2}$　　　D.$\frac{2}{3}$
(2)[全国卷II]设向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不平行，向量$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$平行，则实数$\lambda =$_______.

答案：
(1)B 设$E$是$BC$边的中点，则$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OE}$，由题意得$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OE}$，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4t}\overrightarrow{AD}$，又因为$B$，$O$，$D$三点共线，所以$\frac{1}{4}+\frac{1}{4t}=1$，解得$t=\frac{1}{3}$。故选B。
(2)$\frac{1}{2}$ 因为$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$平行，所以存在$\mu\in\mathbf{R}$，使得$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\mu(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})$，即$(\lambda-\mu)\boldsymbol{a}+(1 - 2\mu)\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$。因为向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不平行，所以$\lambda-\mu = 0$，$1 - 2\mu = 0$，解得$\lambda=\mu=\frac{1}{2}$。

训练3　(1)已知$\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}$是平面内两个不共线的向量，$\overrightarrow{OA}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow{OB}=4\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2},\overrightarrow{OC}=5\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$，若A,B,C三点共线，则实数k的值为　　　　(　　　)

A.-1　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
(2)[2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考]如图，在
　　　　　　　　　　　　 △ABC中，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，M,N分别为线段AB,AC上的动点，且M,N,G三点共线，若$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}(\lambda\neq0),\overrightarrow{AN}=\mu\overrightarrow{AC}(\mu\neq0)$，则$\lambda + 4\mu$的最小值为　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　
A.$\frac{3}{2}$　　　B.3　　　　C.2　　　　D.$\frac{9}{4}$

答案：
(1)A 解法一 因为$\overrightarrow{OA}=3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{OB}=4\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{OC}=5\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4\boldsymbol{e}_{1}+k\boldsymbol{e}_{2})-(3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2})=\boldsymbol{e}_{1}+(k - 2)\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(5\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2})-(3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2})=2\boldsymbol{e}_{1}-6\boldsymbol{e}_{2}$，又$A$，$B$，$C$三点共线，所以存在唯一的实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，即$\boldsymbol{e}_{1}+(k - 2)\boldsymbol{e}_{2}=\lambda(2\boldsymbol{e}_{1}-6\boldsymbol{e}_{2})$，所以$\begin{cases}2\lambda = 1\\-6\lambda = k - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\\lambda=\frac{1}{2}\end{cases}$，故选A。
解法二 根据题意，设$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+(1 - x)\overrightarrow{OC}$，则$3\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}=[4x + 5(1 - x)]\boldsymbol{e}_{1}+[kx - 4(1 - x)]\boldsymbol{e}_{2}$，因为$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是平面内两个不共线的向量，所以$\begin{cases}4x + 5(1 - x)=3\\kx - 4(1 - x)=2\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2\\k=-1\end{cases}$，故选A。
(2)B 由题意得$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\frac{1}{\lambda}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{\mu}\overrightarrow{AN})$，由于$M$，$N$，$G$三点共线，故$\frac{1}{3\lambda}+\frac{1}{3\mu}=1$。故$\lambda + 4\mu=(\lambda + 4\mu)(\frac{1}{3\lambda}+\frac{1}{3\mu})=\frac{5}{3}+\frac{4\mu}{3\lambda}+\frac{\lambda}{3\mu}\geqslant\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{4\mu}{3\lambda}\cdot\frac{\lambda}{3\mu}} = 3$，当且仅当$\frac{4\mu}{3\lambda}=\frac{\lambda}{3\mu}$，即$\lambda = 1$，$\mu=\frac{1}{2}$时等号成立，故$\lambda + 4\mu$的最小值为3，故选B。