《2025年高考帮数学》

例4　(1)[2023天津高考]若a = 1.01$^{0.5}$,b = 1.01$^{0.6}$,c = 0.6$^{0.5}$,则a,b,c的大小关系为　(　　　)
A. c＞a＞b　　　　　　B. c＞b＞a
C. a＞b＞c　　　　　　D. b＞a＞c
(2)[2023全国卷甲]已知函数f(x) = e⁻⁽ˣ⁻¹⁾². 记a = f($\frac{\sqrt{2}}{2}$),b = f($\frac{\sqrt{3}}{2}$),c = f($\frac{\sqrt{6}}{2}$),则　　(　　　
A. b＞c＞a　　　　　　B. b＞a＞c
C. c＞b＞a　　　　　　D. c＞a＞b

答案：
(1)D　因为函数f(x)=1.01ˣ是增函数,且0.6 ＞ 0.5 ＞ 0,所以1.01^0.6＞1.01^0.5＞1,即b ＞ a ＞ 1;因为函数g(x)=0.6ˣ是减函数,且0.5 ＞ 0,所以0.6^0.5＜0.6⁰ = 1,即c ＜ 1.综上,b ＞ a ＞ c.故选D.
(2)A　f(x)=e^(-(x - 1)²)是由函数y = eᵘ和u = -(x - 1)²复合而成的函数,y = eᵘ为R上的增函数,u = -(x - 1)²在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,由复合函数的单调性可知，f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x = 1对称,所以c = f(√6/2)=f(2 - √6/2)，又√2/2＜2 - √6/2＜√3/2＜1,所以f(√2/2)＜f(2 - √6/2)＜f(√3/2)，所以b ＞ c ＞ a,故选A

例5　[2024北京市十一学校模拟]若不等式3ᵃˣ⁻¹ ＜ ($\frac{1}{3}$)ᵃˣ²恒成立，则实数a的取值范围是(　　　
A. (-4,0)　　　　　　B. (-4,0]
C. (0,4)　　　　　　　D. [0,4)

答案： B　因为不等式3^(ax - 1)＜(1/3)^(ax²)恒成立,即3^(ax - 1)＜3^(-ax²)恒成立,所以ax - 1 ＜ -ax²恒成立,即ax² + ax - 1 ＜ 0恒成立,
当a = 0时,-1 ＜ 0恒成立,符合题意;
当a≠0时,则{a ＜ 0,Δ = a² + 4a ＜ 0}，解得 - 4 ＜ a ＜ 0.
综上可得 - 4 ＜ a≤0,即实数a的取值范围是(-4,0].故选B.

例6　已知函数f(x) = ($\frac{1}{3}$)ᵃˣ²⁻⁴ˣ⁺³.
(1)若a = -1,则f(x)的单调递增区间为_______,单调递减区间为_______;
(2)若f(x)有最大值3,则a的值为_______;
(3)若f(x)的值域是(0, +∞),则a的值为_______.

答案：
(1)(-2,+∞)　(-∞,-2)　当a = -1时,f(x)=(1/3)^(-x² - 4x + 3).令u = -x² - 4x + 3 = -(x + 2)² + 7,则该函数在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减.因为y = (1/3)ⁿ在R上单调递减,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)1　令h(x)=ax² - 4x + 3,则f(x)=(1/3)^(h(x))，因为f(x)有最大值3,所以h(x)有最小值 - 1,因此必有{a ＞ 0,(12a - 16)/4a = -1}，解得a = 1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
(3)0　令g(x)=ax² - 4x + 3,由f(x)的值域是(0,+∞)知,g(x)=ax² - 4x + 3的值域为R,则必有a = 0.

训练4　(1)[2024辽宁省名校联考]已知函数f(x) = a$^{\sqrt{1 - ax}}$(a ＞ 0,且a≠1)在区间[2,3]上单调递增，则a的取值范围为　　　　　　　(　　　)
A. (0,$\frac{1}{2}$]　　　　　　　B. (1, +∞)
C. (0,$\frac{1}{3}$]　　　　　　　D. [$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$]
(2)[2024浙江温州联考]如果1 ＜ 2ᵃ ＜ 2ᵇ ＜ 2,那么　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. aᵃ ＜ aᵇ ＜ bᵃ　　　　　B. aᵃ ＜ bᵃ ＜ aᵇ
C. aᵇ ＜ aᵃ ＜ bᵃ　　　　　D. aᵇ ＜ bᵃ ＜ aᵃ
(3)[2024黑龙江省肇东市第四中学模拟]已知函数f(x) = 2ˣ + a·2⁻ˣ的图象关于原点对称，若f(2x - 1) ＞ $\frac{3}{2}$,则x的取值范围为　　　　(　　　)
A. (-∞,1)　　　　　B. (1, +∞)
C. [3, +∞)　　　　　D. (-∞, -2)

答案：
(1)C　由a ＞ 0且a≠1,得y = √(1 - ax)在[2,3]上单调递减,由复合函数单调性法则得a∈(0,1),由1 - 3a≥0,解得a≤1/3,故a∈(0,1/3].故选C
(2)C　因为函数y = 2ˣ在R上单调递增,2⁰ = 1＜2ᵃ＜2ᵇ＜2¹,所以0 ＜ a ＜ b ＜ 1.因为函数y = aˣ(0 ＜ a ＜ 1)在R上单调递减,所以aᵃ＞aᵇ.因为函数y = xᵃ(0 ＜ a ＜ 1)在(0,+∞)上单调递增,所以aᵃ＜bᵃ,所以aᵇ＜aᵃ＜bᵃ.故选C.
(3)B　因为函数f(x)=2ˣ + a·2⁻ˣ的图象关于原点对称且定义域为R,所以f
(0)=1 + a = 0,解得a = -1,所以f(x)=2ˣ - 2⁻ˣ.因为y = 2ˣ在R上单调递增,y = 2⁻ˣ在R上单调递减,所以f(x)=2ˣ - 2⁻ˣ在R上单调递增,由f
(1)=3/2,f(2x - 1)＞3/2，得f(2x - 1)＞f
(1)，所以2x - 1＞1,解得x ＞ 1.故选B.