《2025年高考帮数学》

1. 复数的有关概念
|名称|含义|
|--|--|
|复数的定义|形如$a + bi(a,b\in\mathbf{R})$的数叫做复数，其中实部为①____，虚部为②____，i 为虚数单位且$i^{2}=$③____.|
|复数分类|$a + bi$为实数$\Leftrightarrow b = 0$；$a + bi$为虚数$\Leftrightarrow b\neq0$；$a + bi$为纯虚数$\Leftrightarrow$④____$(a,b\in\mathbf{R})$|
|复数相等|$a + bi = c + di\Leftrightarrow a = c$且$b = d(a,b,c,d\in\mathbf{R})$.注意 实数能比较大小，虚数不能比较大小.|
|共轭复数|$a + bi$与$c + di$互为共轭复数$\Leftrightarrow$⑤____$(a,b,c,d\in\mathbf{R})$|
|复平面|建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做⑥____，y 轴叫做⑦____.说明 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.|
|复数的模|设$\overrightarrow{OZ}$对应的复数为$z = a + bi$，则向量$\overrightarrow{OZ}$的模叫做复数$z = a + bi$的模或绝对值，记作$|z|$或$|a + bi|$，即$|z| = |a + bi| =$⑧____|

答案： ①a ②b ③-1 ④a = 0且b≠0 ⑤a = c且b = -d ⑥实轴 ⑦虚轴 ⑧$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 

3. 复数的四则运算
(1)复数的运算法则
设$z_{1}=a + bi,z_{2}=c + di(a,b,c,d\in\mathbf{R})$.
|运算法则|运算形式|
|--|--|
|加法|$z_{1}+z_{2}=(a + bi)+(c + di)=$⑨____|
|减法|$z_{1}-z_{2}=(a + bi)-(c + di)=$⑩____|
|乘法|$z_{1}\cdot z_{2}=(a + bi)\cdot(c + di)=$⑪____|
|除法|$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}=\frac{ac + bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc - ad}{c^{2}+d^{2}}i(c + di\neq0)$|
(2)复数的运算律
对任意的$z_{1},z_{2},z_{3}\in\mathbf{C}$：
|加法运算律|交换律：$z_{1}+z_{2}=$⑫____.结合律：$(z_{1}+z_{2})+z_{3}=$⑬____|
|乘法运算律|交换律：$z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$.结合律：$(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$.分配律：$z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$|
(3)复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行
若复数$z_{1},z_{2}$对应的向量$\overrightarrow{OZ_{1}},\overrightarrow{OZ_{2}}$不共线，则复数$z_{1}+z_{2}$是以$\overrightarrow{OZ_{1}},\overrightarrow{OZ_{2}}$为两邻边的平行四边形的对角线$\overrightarrow{OZ}$所对应的复数；复数$z_{1}-z_{2}$是$\overrightarrow{OZ_{1}}-\overrightarrow{OZ_{2}}=\overrightarrow{Z_{2}Z_{1}}$所对应的复数.
基础自测

答案： ⑨a + c + (b + d)i ⑩a - c + (b - d)i ⑪ac - bd + (ad + bc)i ⑫$z_{2}+z_{1}$ ⑬$z_{1}+(z_{2}+z_{3})$