《2025年高考帮数学》

(2)点P到平面ABC的距离为$\overrightarrow{PA}$在平面ABC的法向量n上的投影向量的长度,即d = ⑭________.
(3)当直线PQ与平面ABC平行时,直线PQ到平面ABC的距离可转化为点P到平面ABC的距离.
(4)当平面α与平面β平行时,两平面的距离可转化为平面α上一点P到平面β的距离.
(5)如图,异面直线a,b之间的距离即直线a上一点P到a'与b所确定的平面α的距离(a'//a,a'∩b = O).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

基础自测

答案： $\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$

1.[教材改编]如图,正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中,异面直线AK和LM所成的角的大小为 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30°　　　　　　
　B.45°　　　　　　
　C.60°　　　　　　
　D.90°

答案：
根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取$AA_1$的中点$G$，连接$KG$，则有$KG// LM$，所以$\angle AKG$或其补角为异面直线$AK$和$LM$所成的角。由题知$AG = 2$，$AK = KG=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$，则有$AK^{2}+KG^{2}=AG^{2}$，所以$\angle AKG = 90^{\circ}$，即异面直线$AK$和$LM$所成的角为$90^{\circ}$。

故选D。

2.[教材改编]在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,AB = 3,AD = 4,AA₁ = 4,过点D₁作直线l,与直线A₁B,AC所成的角均为60°,则这样的直线l有 ( )
A.2条　　　　　　
　B.3条　　　　　　
　C.4条　　　　　　
　D.无数条

答案：
如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，连接$A_1C_1$，$BC_1$，则$A_1C_1// AC$，所以$\angle BA_1C_1$或其补角为异面直线$A_1B$与$AC$所成的角。由题意得$A_1B = 5$，$A_1C_1 = 5$，$BC_1 = 4\sqrt{2}$，所以$\cos\angle BA_1C_1=\frac{5^{2}+5^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}{2\times5\times5}=\frac{9}{25}＜\frac{1}{2}$，所以$60^{\circ}＜\angle BA_1C_1＜90^{\circ}$，则过点$D_1$作直线$l$，与直线$A_1B$，$AC$所成的角均为$60^{\circ}$，即过一点作直线，使之与同一平面上夹角大于$60^{\circ}$的锐角的两边所在直线所成的角均成$60^{\circ}$，这样的直线$l$有4条。

故选C。

3.[易错题]已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos〈m,n〉 = - $\frac{1}{2}$,则l与α所成的角为______.

答案： $30^{\circ}$ 设$l$与$\alpha$所成的角为$\theta$，则$\sin\theta =|\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{1}{2}$，所以$\theta = 30^{\circ}$。

4.已知空间直角坐标系Oxyz中,过点P(x₀,y₀,z₀)且一个法向量为n = (a,b,c)的平面α的方程为a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0.用以上知识解决下面问题:已知平面α的方程为x + 2y - 2z + 1 = 0,直线l是两个平面x - y + 3 = 0与x - 2z - 1 = 0的交线,试写出直线l的一个方向向量______,直线l与平面α所成角的余弦值为______.

答案： $(2,2,1)$ $\frac{\sqrt{65}}{9}$ 由平面$\alpha$的方程为$x + 2y - 2z + 1 = 0$，可得平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,2,-2)$。平面$x - y + 3 = 0$的一个法向量为$\boldsymbol{m}_1=(1,-1,0)$，平面$x - 2z - 1 = 0$的一个法向量为$\boldsymbol{m}_2=(1,0,-2)$。设直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{m}_1 = 0\\\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{m}_2 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x - y = 0\\x - 2z = 0\end{cases}$，令$z = 1$，则取$\boldsymbol{m}=(2,2,1)$。设直线$l$与平面$\alpha$所成角为$\theta$，$0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}$，则$\sin\theta =|\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{4}{\sqrt{9}\times\sqrt{9}}=\frac{4}{9}$，$\cos\theta =\frac{\sqrt{65}}{9}$。

例1 [2021全国卷乙]在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（ ）
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$

答案：
高考帮
例1 D 解法一(几何法) 如图,连接C₁P,因为ABCD - A₁B₁C₁D₁是正方体,且P为B₁D₁的中点,所以C₁P⊥B₁D₁,又C₁P⊥BB₁,BB₁∩B₁D₁ = B₁,所以C₁P⊥平面B₁BP.又BP⊂平面B₁BP,所以C₁P⊥BP.连接BC₁,则AD₁//BC₁,所以∠PBC₁为直线PB与AD₁所成的角.设正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为2,则在直角三角形C₁PB中,C₁P = 1/2B₁D₁ = √2,BC₁ = 2√2,sin∠PBC₁ = PC₁/BC₁ = 1/2,所以∠PBC₁ = π/6,故选D.
　　　　　　　　　　　　　　　
解法二(向量法) 以B₁为坐标原点,B₁C₁,B₁A₁,B₁B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,向量B₁C₁,B₁A₁,B₁B的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为2,则B(0,0,2),P(1,1,0),D₁(2,0,0),A(0,2,2),向量PB = (-1,-1,2),向量AD₁ = (2,0,-2).设直线PB与AD₁所成的角为θ,则cosθ = |向量PB·向量AD₁|/|向量PB||向量AD₁| = | - 6|/√6×√8 = √3/2.因为θ∈(0,π/2],所以θ = π/6,故选D.
解法三 如图所示,连接BC₁,A₁B,A₁C₁,则易知AD₁//BC₁,所以直线PB与AD₁所成角等于直线PB与BC₁所成角.根据P为正方形A₁B₁C₁D₁的对角线B₁D₁的中点,易知A₁,P,C₁三点共线,且P为A₁C₁的中点.易知A₁B = BC₁ = A₁C₁,所以△A₁BC₁为等边三角形,所以∠A₁BC₁ = π/3,又P为A₁C₁的中点,所以可得∠PBC₁ = 1/2∠A₁BC₁ = π/6.故选D.