《2025年高考帮数学》

训练3 [2022北京高考]在△ABC中，$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$.
(1)求∠C；
(2)若$b = 6$，且△ABC的面积为$6\sqrt{3}$，求△ABC的周长.

答案：
(1)因为$\sin 2C = \sqrt{3}\sin C$，所以$2\sin C\cos C = \sqrt{3}\sin C$。
因为$C\in(0,\pi)$，所以$\sin C\neq0$，所以$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$C = \frac{\pi}{6}$。
(2)因为$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\times a\times6\times\frac{1}{2} = 6\sqrt{3}$，所以$a = 4\sqrt{3}$。
由余弦定理可得$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C = 48 + 36 - 72 = 12$，所以$c = 2\sqrt{3}$，所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 4\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3} = 6(\sqrt{3} + 1)$。

例5 [2023四川遂宁三诊]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{c}{a}=\frac{1+\cos C}{2 - \cos A}$，c = 4，$C = \frac{\pi}{3}$，则△ABC的面积为（ ）
A. $2\sqrt{3}$
B. $4\sqrt{3}$
C. 12
D. 16

答案： 例5B　解法一(射影定理法)　由$\frac{c}{a}=\frac{1 + \cos C}{2 - \cos A}$得$2c = a + a\cos C + c\cos A$，则由射影定理可得$a + b = 2c$.
因为$c = 4$，所以$a + b = 2c = 8$，又$C = \frac{\pi}{3}$，所以由余弦定理得$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} = \frac{(a + b)^{2} - 2ab - 16}{2ab} = \frac{48 - 2ab}{2ab} = \frac{1}{2}$，得$ab = 16$.
所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ab\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = 4\sqrt{3}$;故选B.
解法二　由正弦定理及$\frac{c}{a}=\frac{1 + \cos C}{2 - \cos A}$，得$\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{1 + \cos C}{2 - \cos A}$，
所以$\sin A + \sin A\cos C = 2\sin C - \cos A\sin C$，
所以$\sin A + \sin A\cos C + \cos A\sin C = 2\sin C$，
即$\sin A + \sin(A + C) = 2\sin C$，所以$\sin A + \sin B = 2\sin C$，由正弦定理得$a + b = 2c$.
后同解法一.

训练4 [2023济南历城二中5月模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcos C + 3ccos B = 5asin A，且A为锐角，则当$\frac{a^{2}}{bc}$取最小值时，$\frac{a}{2b + c}$的值为______.

答案： 训练4　$\frac{\sqrt{10}}{15}$ 由$3b\cos C + 3c\cos B = 5a\sin A$及射影定理得$3a = 5a\sin A$，可得$\sin A = \frac{3}{5}$，又$A$是锐角，所以$\cos A = \frac{4}{5}$，则由余弦定理得$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A = b^{2} + c^{2} - \frac{8}{5}bc$，则$\frac{a^{2}}{bc} = \frac{b^{2} + c^{2} - \frac{8}{5}bc}{bc} = \frac{b^{2} + c^{2}}{bc} - \frac{8}{5} \geq \frac{2bc}{bc} - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$，当且仅当$b = c$时，$\frac{a^{2}}{bc}$取得最小值$\frac{2}{5}$，此时$a^{2} = \frac{2}{5}b^{2}$，即$a = \frac{\sqrt{10}}{5}b$，所以$\frac{a}{2b + c} = \frac{\sqrt{10}}{15}$.

例1 [2022新高考卷Ⅰ]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\frac{\cos A}{1 + \sin A}=\frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B}$。
（1）若C=$\frac{2\pi}{3}$，求B；
（2）求$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$的最小值。

答案： （1）因为$\frac{\cos A}{1 + \sin A}=\frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B}$，所以$\frac{\cos A}{1 + \sin A}=\frac{2\sin B\cos B}{2\cos^{2}B}$，易知$\cos B\neq0$，所以$\frac{\cos A}{1 + \sin A}=\frac{\sin B}{\cos B}$，所以$\cos A\cos B = \sin B + \sin A\sin B$，所以$\cos(A + B)=\sin B$，所以$\sin B = -\cos C = -\cos\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}$。因为$B\in(0,\frac{\pi}{3})$，所以$B = \frac{\pi}{6}$。
(2)由
(1)得$\cos(A + B)=\sin B$，所以$\sin[\frac{\pi}{2}-(A + B)]=\sin B$，且$0\lt A + B\lt\frac{\pi}{2}$，所以$0\lt B\lt\frac{\pi}{2}$，$0\lt\frac{\pi}{2}-(A + B)\lt\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{2}-(A + B)=B$，解得$A = \frac{\pi}{2}-2B$。
由正弦定理得$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin^{2}A+\sin^{2}B}{\sin^{2}C}=\frac{\sin^{2}(\frac{\pi}{2}-2B)+\sin^{2}B}{1 - \sin^{2}B}=\frac{\cos^{2}2B+\sin^{2}B}{\cos^{2}B}=\frac{(2\cos^{2}B - 1)^{2}+1 - \cos^{2}B}{\cos^{2}B}=\frac{4\cos^{4}B - 5\cos^{2}B + 2}{\cos^{2}B}=4\cos^{2}B+\frac{2}{\cos^{2}B}-5\geq2\sqrt{4\cos^{2}B\times\frac{2}{\cos^{2}B}}-5 = 4\sqrt{2}-5$，当且仅当$\cos^{2}B=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，所以$\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$的最小值为$4\sqrt{2}-5$。