《2025年高考帮数学》

第6讲　　双曲线
1.双曲线的定义和标准方程
　(1)定义
在平面内到两定点$F_1,F_2$的距离的差的①______等于常数(小于$|F_1F_2|$且大于零)的点的轨迹叫做双曲线. 定点$F_1,F_2$叫做双曲线的②____,两焦点间的距离叫做③____.
　集合语言:$P = \{ M|||MF_1| - |MF_2|| = 2a,2a ＜ |F_1F_2|\},|F_1F_2| = 2c$,其中$a,c$为常数且$a＞0,c＞0$.
　a. 当$2a = 2c$时,$P$点的轨迹是④______;
　b. 当$2a ＞ 2c$时,$P$点轨迹不存在.


(2)标准方程

a. 中心在坐标原点,焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程为⑤______(a ＞ 0,b ＞ 0);
b. 中心在坐标原点,焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程为⑥______(a ＞ 0,b ＞ 0).

教材帮.读透教材融会贯通

答案： ①绝对值　②焦点　③焦距　④两条射线⑤$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$　⑥$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

2.双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质

答案： ⑦$x$轴、$y$轴　⑧原点　⑨$(-c,0)$　⑩$(c,0)$　⑪$(0,-c)$　⑫$(0,c)$　⑬$2a$　⑭$2b$　⑮$2c$　⑯$\frac{c}{a}$　⑰$(1,+\infty)$　⑱$y=\pm\frac{b}{a}x$　⑲$y=\pm\frac{a}{b}x$　⑳$c^{2}-b^{2}$