《2025年高考帮数学》

1.空间角
　(1)异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'//a,b'//b,我们把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
　
异面直线夹角的范围是①________.
(2)直线与平面所成的角
　
a.平面的一条斜线和它在平面上的②______所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则它们所成的角是③____;一条直线和平面平行或直线在平面内,则它们所成的角是④____.

b.线面角θ的取值范围:⑤______.
c.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.
　(3)二面角与两个平面的夹角
　
a.从一条直线出发的两个⑥________所组成的图形叫做二面角.
b.二面角的平面角:如图,在二面角α−l−β的棱l上任取一点P,以点P为垂足,在半平面α,β内分别作垂直于棱l的射线PA和PB,则射线PA和PB构成的∠APB叫做二面角α−l−β的平面角.
　
c.二面角的范围:⑦______.

答案： $(0,\frac{\pi}{2}]$
@@②射影 ③$90^{\circ}$ ④$0^{\circ}$
@@$[0,\frac{\pi}{2}]$
@@半平面
@@$[0,\pi]$

2.利用向量法求空间角
|空间角|求法|注意事项|
|--|--|--|
|异面直线所成角|
设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,若直线l与m的夹角为θ,则cosθ = ⑧________.|角θ的范围为⑨______,所以线线角的余弦值非负.
|线面角|
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ = ⑩________.|角θ的范围为⑪______,注意θ与〈a,n〉的关系.
|两个平面的夹角|
平面α,β的法向量分别为n₁,n₂,若设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ = |cos〈n₁,n₂〉|.|两个平面夹角的范围为⑫_____,二面角的范围是⑬_____.

答案： ⑧$|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle|$ ⑨$(0,\frac{\pi}{2}]$
@@⑩$|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{n}\rangle|$ ⑪$[0,\frac{\pi}{2}]$
@@⑫$[0,\frac{\pi}{2}]$ ⑬$[0,\pi]$