《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 4
求证：$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} · \frac{\cos\alpha\tan\alpha}{1 + \cos\alpha} = 1$.

答案： 对点训练4:【证明$】\cos \alpha · \frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } =\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{1-\cos \alpha } =\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } · \frac{\sin^{2} \alpha }{\sin^{2} \alpha } =\frac{\sin^{2} \alpha }{1-\cos \alpha } · \frac{1-\cos^{2} \alpha }{\sin^{2} \alpha } =1.$

例 5. 已知$\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2}(0 ＜ \theta ＜ \pi)$, 求$\sin\theta\cos\theta$和$\sin\theta - \cos\theta$的值.

答案： 例5:因为$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2} (0 \lt \theta \lt \pi),$
所以$(\sin \theta +\cos \theta )^{2} =\frac{1}{4} ,$
即$\sin^{2} \theta +2\sin \theta \cos \theta +\cos^{2} \theta =\frac{1}{4} ,$
所以$\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8} .$
由上知，$\theta$为第二象限角，
所以$\sin \theta -\cos \theta \gt 0,$所以$\sin \theta -\cos \theta $
$=\sqrt{(\sin \theta +\cos \theta )^{2} -4\sin \theta \cos \theta } $
$=\sqrt{(\frac{1}{2} )^{2} -4× (-\frac{3}{8} )} =\frac{\sqrt{7} }{2} .$

对点训练 5
已知$\sin\alpha + \cos\alpha = m$, 求$\sin^{3}\alpha + \cos^{3}\alpha$的值.

答案： 对点训练5:由$\sin \alpha +\cos \alpha =m$可得$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{m^{2}-1}{2} $
$\therefore \sin^{3} \alpha +\cos^{3} \alpha =(\sin \alpha +\cos \alpha )(\sin^{2} \alpha -\sin \alpha \cos \alpha +\cos^{2} \alpha )=m· (1-\frac{m^{2}-1}{2} )=\frac{m(3-m^{2} )}{2}$