《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 1. (1)与$\frac{9\pi}{4}$终边相同的角的表达式中，正确的是 (C)
A. $2k\pi + 45°, k \in \mathbb{Z}$
B. $k · 360° + \frac{9\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$
C. $k · 360° - 315°, k \in \mathbb{Z}$
D. $k\pi + \frac{5\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$
(2)扇形的周长$C$一定时，它的圆心角$\theta$取何值才能使该扇形的面积$S$最大，最大值是多少？
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答案： 例1:
(1)C
(2)见解析
【解析】
(1)选项A,B中角度与弧度混用,不正确;
$\frac{9}{4}\pi=2\pi+\frac{\pi}{4},$所以$\frac{9\pi}{4}$与$\frac{\pi}{4}$的终边相同,
-315°=-360°+45°,
所以-315°也与45°终边相同,故选C.
(2)设扇形的半径为R,则扇形的弧长为C - 2R,因为S=
$\frac{1}{2}(C - 2R)× R=-R^2+\frac{C}{2}R=-(R-\frac{C}{4})^2+(\frac{C}{4})^2,$所以当
$R=\frac{C}{4}$即$\theta=\frac{C - 2R}{R}=2$时扇形有最大面积$\frac{C^2}{16}。$

例 2. (1)角$\alpha$的终边上存在一点$P\left(-\frac{4}{5m}, \frac{3}{5m}\right)$，且$\frac{\cos \alpha}{\tan \alpha} ＜ 0$，则$\sin \alpha + \cos \alpha = \underline{\hspace{5em}}$
(2)已知$\frac{1 + \tan(\theta + 720°)}{1 - \tan(\theta - 360°)} = 3 + 2\sqrt{2}$，求$[\cos^2(\pi - \theta) + \sin(\pi + \theta)\cos(\pi - \theta) + 2\sin^2(\pi - \theta)] ·$$\frac{1}{\cos^2(-\pi - \theta)}$的值。
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答案： 例$2:(1)\frac{1}{5} (2)$见解析
【解析】
(1)由点P的坐标知,点P在第二或第四象限;由
$\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}＜0$知$\alpha$是第三或第四象限角.故角$\alpha$是第四象限角,所以
m＜0.P到原点的距离$r=\sqrt{\frac{16}{25m^2}+\frac{9}{25m^2}}=\sqrt{\frac{1}{m^2}}=-\frac{1}{m},$所以
$\sin\alpha=\frac{\frac{3}{5}m}{-\frac{1}{m}}=-\frac{3}{5},\cos\alpha=\frac{\frac{4}{5}m}{-\frac{1}{m}}=\frac{4}{5},$所以$\sin\alpha+\cos\alpha=$
$-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.$
$(2)\frac{1+\tan(\theta+720°)}{1-\tan(\theta-360°)}=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}=3+2\sqrt{2},$所以$\tan\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故原式$=\frac{\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta+2\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=1+\tan\theta+2\tan^2\theta=1+$
$\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\frac{4+\sqrt{2}}{2}.$