《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

问题：测量高度是一个很传统的数学应用问题，你能举出一些例子吗？
提示：1. 测量学校内的旗杆.
2. 测量学校内的一座教学楼.
3. 测量学校外一座看得见，但底部不可到达的建筑物.

答案： 1. 测量学校内的旗杆：在旗杆旁放置一已知长度的标杆，测量标杆影长及旗杆影长，利用相似三角形对应边成比例，旗杆高度=（旗杆影长×标杆长度）/标杆影长。
2. 测量学校内的一座教学楼：在教学楼底部水平方向选取一点，用测角仪测量观测点到教学楼底部距离及观测点看教学楼顶部的仰角α，教学楼高度=距离×tanα+测角仪高度。
3. 测量学校外底部不可到达的建筑物：在地面选取A、B两点，测量AB距离，在A点测建筑物顶部仰角α，在B点测建筑物顶部仰角β，设建筑物高度为h，可得h/tanα - h/tanβ = AB，解得h=AB×tanα×tanβ/(tanβ - tanα)。

二、试着做一做
对于高度测量的问题，我们容易想到利用三角形的知识来解决，比如测量学校内的旗杆高度，由于观测点与旗杆之间的水平距离是可以测量的，所以我们只要测量一个仰角，就可以利用直角三角形的边角关系计算出旗杆的高度. 当然，如何减少误差是一个需要考虑的问题，同时在测量时需要哪些测量工具也是要事先准备好的. 请大家先思考一下需要用到的测量工具有哪些.
学校外的建筑物高度测量问题，与旗杆测量问题的差异在哪里呢？ 由于我们在校园内测量，观测点与被测量的对象之间的水平距离不可测(比如它们之间存在不可逾越的障碍物，或者即使其之间的水平距离是可测的，但是距离较远)，我们又该如何测量其高度呢？
我们可以尝试设计不同的测量方案，要考虑这些不同方案需要测量哪些数据？ 其优缺点是什么？ 所用的(数学)原理又是什么？ 请你在网格区域中试着做一做，将方案填写在下表中.

答案： |图示|测量数据|测量方案优缺点分析|计算方法|方案建构原理|
|----|----|----|----|----|
|（A、B为同一直线上两观测点，与建筑物底部共线，A近B远，顶部为D，底部为C）|仰角α（A点）、仰角β（B点）、A、B间距d|优点：操作简便，无需直接测量水平距离；缺点：需确保三点共线，存在共线误差|设A到C距离为x，h=x tanα，h=(x+d) tanβ，联立得h= d tanα tanβ/(tanα - tanβ)|直角三角形边角关系（tanα=h/x，tanβ=h/(x+d)）|
|（A、B为不共线两观测点，与底部C构成△ABC，顶部D）|仰角α（A点）、仰角β（B点）、A、B间距d、∠BAC=θ、∠ABC=φ|优点：无需三点共线，适用性广；缺点：需测两个水平角，数据多，计算较复杂|在△ABC中，由正弦定理：AC= d sinφ/sin(θ+φ)，则h=AC tanα= d sinφ tanα/sin(θ+φ)|正弦定理（AC/sinφ=BC/sinθ=d/sin(θ+φ)），直角三角形边角关系（tanα=h/AC）|