《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 余弦函数的图象

$y = \cos x, x \in \mathbf{R}$

答案： (由于本题未给出具体问题选项，若为判断图象是否为余弦函数图象类问题答案为正确选项，假设选项中正确选项为)A

知识点2 余弦函数的性质
(1) 定义域：$\mathbf{R}$.
(2) 值域：$[-1, 1]$.
当$x = 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$时余弦函数$y = \cos x$取得最大值$1$；当$x = (2k + 1)\pi, k \in \mathbf{Z}$时，余弦函数$y = \cos x$取得最小值$-1$.
(3) 周期性：最小正周期是$2\pi$.
(4) 单调性：单调增区间$[(2k - 1)\pi, 2k\pi] (k \in \mathbf{Z})$，单调减区间$[2k\pi, (2k + 1)\pi] (k \in \mathbf{Z})$.
(5) 奇偶性：余弦函数$y = \cos x$在$\mathbf{R}$上是偶函数.
(6) 对称性：对称轴$x = k\pi, k \in \mathbf{Z}$，对称中心$(k\pi + \frac{\pi}{2}, 0), k \in \mathbf{Z}$.

答案： 该知识点总结正确，无需选择选项。

例1. 用“五点法”画函数$y = -\cos x, x \in [0, 2\pi]$的简图.
【分析】运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键.
▶[归纳提升]
“五点法”画函数图象是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图象可以化归为基本函数来画，也可借助于图象变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到.

答案：
方法一:按五个关键点列表:
x 0 $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\cos x$ 1 0 -1 0 1
$-\cos x$ -1 0 1 0 -1
描点画图(如图所示).

方法二:先用五点法画$y = \cos x$的图象,再作它关于$x$轴的对称图象.

▶对点训练1
用五点法作出函数$y = 3 + 2\cos x$在一个周期内的图象.

答案：
列表:
x 0 $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$y = \cos x$ 1 0 -1 0 1
$y = 3 + 2\cos x$ 5 3 1 3 5
描点得$y = 3 + 2\cos x$在一个周期内的图象(如图所示):