《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 若向量$\boldsymbol{a} = (x,2),\boldsymbol{b} = (-1,3),\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 3$，则$x$等于 (A)

A.3
B.-3
C.$\frac{5}{3}$
D.$-\frac{5}{3}$

答案： 1.A $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-x + 6 = 3$,故$x = 3$.

2. 设向量$\boldsymbol{a} = (2,0),\boldsymbol{b} = (1,1)$，则下列结论中正确的是 (D)

A.$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$
B.$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0$
C.$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$
D.$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$

答案： 2.D $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}=(1,-1)$,所以$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})·\boldsymbol{b}=1 - 1 = 0$,所以$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$.

3. 已知$\boldsymbol{a} = (3,-1),\boldsymbol{b} = (1,-2)$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 (B)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 3.B
∵$\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{10}$,$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{5}$,$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=5$.
∴$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}=\frac{5}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
又
∵$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$的夹角范围为$[0,\pi]$,
∴$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{4}$.

4. 已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1,|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2},\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (\sqrt{3},\sqrt{2})$，则$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$等于 (B)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{15}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： 4.B
∵$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$,$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=5$,$\vert\boldsymbol{a}\vert = 1$,$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{2}$,
∴$5 = 1 - 2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+2$,
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-1$,
∴$\vert2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\vert=\sqrt{4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{4 + 4 + 2}=\sqrt{10}$.故选B.

5. 已知正方形$ABCD$的边长为$2$，点$P$满足$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，则$|\overrightarrow{PD}| =$$\sqrt{5}$；$\overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PD} =$$-1$.

答案：
5.$\sqrt{5}$ $-1$ 以点$A$为坐标原点,$AB$,$AD$所在直线分别为$x$,$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则点$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(2,2)$、$D(0,2)$,
　　　　　　　　　　　　
$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(2,0)+\frac{1}{2}(2,2)=(2,1)$,
则点$P(2,1)$,
∴$\overrightarrow{PD}=(-2,1)$,$\overrightarrow{PB}=(0,-1)$,
因此,$\vert\overrightarrow{PD}\vert=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$,$\overrightarrow{PB}·\overrightarrow{PD}=0×(-2)+1×(-1)=-1$.

知识点1 余弦定理

文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2倍
符号语言 在$\triangle ABC$中，$a^{2}=$$b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，$b^{2}=$$a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$，$c^{2}=$$a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$
推论 在$\triangle ABC$中，$\cos A=$$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos B=$$\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$，$\cos C=$$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$
说明：余弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
(3)主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化.

答案： 知识点1 减去 $a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ $\frac{b^{2}+c^{2}-2b c \cos A}{2 b c}$ $\frac{c^{2}+a^{2}-2c a \cos B}{2 a c}$ $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$

知识点2 三角形面积公式
$\triangle ABC$的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah=$$\frac{1}{2}ab\sin C$(其中$a,b,c$分别为$A,B,C$的对边，$h$为边$BC$上的高).

答案： 知识点2 $\frac{1}{2} a b \sin C$