《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 1. 求下列函数的定义域：
(1)$y = 4 - \cos x$; (2)$y = \sqrt{2\sin x + 1}$.
归纳提升：
(1) 求函数的定义域，就是求解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2) 要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.

答案：
(1)由$y = 4 - \cos x$知定义域为$\mathbf{R}$.
(2)由题意知$2\sin x + 1 \geqslant 0$，即$\sin x \geqslant - \frac{1}{2}$在一周期$[ - \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$内满足上述条件的角为$x \in [ - \frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]$，由此可以得到函数的定义域为$[2k\pi - \frac{\pi}{6},2k\pi + \frac{7\pi}{6}](k \in \mathbf{Z})$.

对点训练1
(1) 函数$y = \frac{1}{2 + \cos x}$的定义域为$\mathbf{R}$.

答案：
(1)$\mathbf{R}$
(2)$(2k\pi,2k\pi + \pi)(k \in \mathbf{Z})$
(1)由$2 + \cos x \neq 0$知$\cos x \neq - 2$，
又由$\cos x \in [ - 1,1]$，故定义域为$\mathbf{R}$.

(2) 函数$y = \ln\sin x$的定义域为$(2k\pi,2k\pi + \pi)(k \in \mathbf{Z})$.

答案：
(2)由题意知$\sin x ＞ 0$.又$y = \sin x$在$[0,2\pi]$内$\sin x ＞ 0$满足$0 ＜ x ＜ \pi$,所以定义域为$(2k\pi,2k\pi + \pi)(k \in \mathbf{Z})$.