《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 5. 已知函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}[\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})]$。
(1)求它的定义域和值域、单调区间；
(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。

答案： 令$u(x)=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4}),$
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}[\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})]=-\frac{1}{2}+\log_{\frac{1}{2}}\sin(x-\frac{\pi}{4}).$
(1)要使f(x)有意义,则$\sin(x-\frac{\pi}{4})＞0,$
所以$2k\pi＜x-\frac{\pi}{4}＜(2k+1)\pi,(k\in\mathbf{Z}).$
即f(x)的定义域为$(2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{5\pi}{4})(k\in\mathbf{Z}).$
因为0＜\sin(x-\frac{\pi}{4})\leq1,
所以0＜\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})\leq\sqrt{2},
所以$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}u(x)\geq-\frac{1}{2}$
所以f(x)的值域为$[-\frac{1}{2},+\infty).$
$x-\frac{\pi}{4}\in(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2}]$时,u(x)是增函数,
所以$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}u(x)$是减函数.
所以$x\in(2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4}]$时,函数是减函数.
同理可求得$x\in[2k\pi+\frac{3\pi}{4},2k\pi+\frac{5\pi}{4})(k\in\mathbf{Z})$时,函数是
增函数;
(2)因为f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇
非偶函数.
又$f(x + 2\pi)=-\frac{1}{2}+\log_{\frac{1}{2}}\sin(x + 2\pi-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}+$
$\log_{\frac{1}{2}}\sin(x-\frac{\pi}{4})=f(x),$其中$x\in(2k\pi+\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{5\pi}{4})(k\in$
$\mathbf{Z}),$所以f(x)是周期函数,且最小正周期是$2\pi.$