《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(3)若复数$(1 - \mathrm{i})(a + \mathrm{i})$在复平面内对应的点在第二象限,则实数$a$的取值范围是

A.$(-\infty,1)$
B.$(-\infty,-1)$
C.$(1,+\infty)$
D.$(-1,+\infty)$
【分析】 利用乘法公式进行运算.
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答案：
(3)B
(3)$z = (1 - i)(a + i) = (a + 1) + (1 - a) i$,因为对应的点在第二象限,所以$\begin{cases} a + 1 ＜ 0, \\ 1 - a ＞ 0, \end{cases}$解得$a ＜ -1$,故选B.

对点训练1
(1)计算:$(1 - \mathrm{i})^2 - (2 - 3\mathrm{i})(2 + 3\mathrm{i}) =$
A. $2 - 13\mathrm{i}$
B. $13 + 2\mathrm{i}$
C. $13 - 13\mathrm{i}$
D. $-13 - 2\mathrm{i}$

答案：
(1)D
(1)$(1 - i)^2 - (2 - 3 i)(2 + 3 i) = 1 - 2 i + i^2 - (4 - 9 i^2) = -13 - 2 i$.故选D.

(2)下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.$\mathrm{i}(1 + \mathrm{i})^2$
B.$\mathrm{i}^2(1 - \mathrm{i})$
C.$(1 + \mathrm{i})^2$
D.$\mathrm{i}(1 + \mathrm{i})$

答案：
(2)C
(2)A项,$ i(1 + i)^2 = i · 2 i = -2$,不是纯虚数;
B项,$ i^2(1 - i) = -(1 - i) = -1 + i$,不是纯虚数;
C项,$(1 + i)^2 = 2 i$,2 i是纯虚数;
D项,$ i(1 + i) = i + i^2 = -1 + i$,不是纯虚数.故选C.

例2. (1)$\frac{2 - \mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}} =$
A. $1$
B. $-1$
C. $\mathrm{i}$
D. $-\mathrm{i}$
(2)若复数$z$满足$z(2 - \mathrm{i}) = 11 + 7\mathrm{i}$($\mathrm{i}$是虚数单位),则$z$为
A. $3 + 5\mathrm{i}$
B. $3 - 5\mathrm{i}$
C. $-3 + 5\mathrm{i}$
D. $-3 - 5\mathrm{i}$
【分析】 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数,转化为乘法进行.
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答案：
(1)D
(2)A
(1)$\frac{2 - i}{1 + 2 i} = \frac{(2 - i)(1 - 2 i)}{(1 + 2 i)(1 - 2 i)} = \frac{-5 i}{5} = - i$.故选D.
(2)$\because z(2 - i) = 11 + 7 i$,
$\therefore z = \frac{11 + 7 i}{2 - i} = \frac{(11 + 7 i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{15 + 25 i}{5} = 3 + 5 i$.

对点训练2
(1)在复平面内,复数$\frac{5\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}}$的对应点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
(2)计算:$\frac{(1 + \mathrm{i})(4 + 3\mathrm{i})}{(2 - \mathrm{i})(1 - \mathrm{i})} =$$-2 + i$.

答案：
(1)B
(2)$-2 + i$
(1)$\frac{5 i}{2 - i} = \frac{5 i(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{5 i(2 + i)}{5} = -1 + 2 i$,对应的点的坐标为$(-1,2)$,位于第二象限.
(2)方法一：$\frac{(1 + i)(4 + 3 i)}{(2 - i)(1 - i)} = \frac{1 + 7 i}{1 - 3 i} = \frac{(1 + 7 i)(1 + 3 i)}{(1 - 3 i)(1 + 3 i)} = \frac{-2 + i}{10} × 10= -2 + i$.
方法二：$\frac{(1 + i)(4 + 3 i)}{(2 - i)(1 - i)} = \frac{\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})\sqrt{25}(\cos \beta + i \sin \beta)}{(2 - i)(1 - i)} = \frac{ i(4 + 3 i)(2 + i)}{5} = \frac{(-3 + 4 i)(2 + i)}{5} = \frac{-10 + 5 i}{5} = -2 + i$.

例3. 已知$x = -1 + \mathrm{i}$是方程$x^2 + ax + b = 0(a,b \in \mathbf{R})$的一个根.
(1)求实数$a$,$b$的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
【分析】 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
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答案：
(1)把$x = -1 + i$代入方程$x^2 + ax + b = 0$,得$(-a + b) + (a - 2) i = 0$,
$\therefore \begin{cases} -a + b = 0, \\ a - 2 = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\ b = 2. \end{cases}$
(2)由
(1)知方程为$x^2 + 2x + 2 = 0$.
设另一个根为$x_2$,由根与系数的关系,得$-1 + i + x_2 = -2$,
$\therefore x_2 = -1 - i$.
把$x_2 = -1 - i$代入方程$x^2 + 2x + 2 = 0$,
则左边$= (-1 - i)^2 + 2(-1 - i) + 2 = 0 =$右边,
$\therefore x_2 = -1 - i$是方程的另一个根.