《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 向量的数乘定义
实数$\lambda$与向量$\boldsymbol{a}$的乘积是一个向量，记作$\lambda\boldsymbol{a}$.
(1)$\lambda\boldsymbol{a}$的大小:$|\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda||\boldsymbol{a}|$.
(2)$\lambda\boldsymbol{a}$的方向：
①当$\lambda ＞ 0$时,$\lambda\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}$的方向相同；
②当$\lambda ＜ 0$时,$\lambda\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}$的方向相反；
③当$\lambda = 0$时,$\boldsymbol{0}\boldsymbol{a} =$0.

答案： 知识点1 向量
(2)①相同 ②相反 ③0

知识点2 向量数乘的运算律
设$\lambda$,$\mu$是实数，则有
(1)$\lambda(\mu\boldsymbol{a}) =$$(\lambda\mu)\boldsymbol{a}$;(结合律)
(2)$(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} =$$\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a}$;(第一分配律)
(3)$\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) =$$\lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$.(第二分配律)
知识点3 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量$\boldsymbol{b}$,则对于任意向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件是存在唯一一个实数$\lambda$使$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$.

答案： 知识点$2 (1)(\lambda u)\boldsymbol{a} (2)\lambda\boldsymbol{a} + u\boldsymbol{a} (3)\lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$
知识点3 存在唯一一个实数$\lambda$使$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$

例1. 计算：
(1)$4(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) - 3(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) - 8\boldsymbol{a}$;
(2)$(5\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) - 2(3\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$;
(3)$\frac{2}{3}[(4\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} - \frac{1}{4}(6\boldsymbol{a} - 7\boldsymbol{b})]$.
【分析】 运用向量数乘的运算律求解.
▶[归纳提升]

答案： 例1:
(1)原式$ = 4\boldsymbol{a} + 4\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b} - 8\boldsymbol{a} = -7\boldsymbol{a} + 7\boldsymbol{b}.$
(2)原式$ = 5\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} - 6\boldsymbol{a} + 4\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{c} = -\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}.$
(3)原式$ = \frac{2}{3}(4\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} - \frac{3}{2}\boldsymbol{a} + \frac{7}{4}\boldsymbol{b}) = \frac{2}{3}(\frac{5}{2}\boldsymbol{a} - \frac{11}{12}\boldsymbol{b}) =$
$\frac{5}{3}\boldsymbol{a} - \frac{11}{18}\boldsymbol{b}.$