《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$对应的边分别为$a,b,c$，已知$\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$.
(1) 求角$B$的大小；
(2) 若$b = 1$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 对点训练3:
(1)在△ABC中,由正弦定理得a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,
∴$\sqrt {3}$acos B = bsin A,代入化简得$\sqrt {3}$sin Acos B = sin Bsin A,
∵A ∈ (0,π),
∴sin A ≠ 0,
∴$\sqrt {3}$cos B = sin B,又显然B ≠ $\frac {π}{2}$,
即cos B ≠ 0,
∴tan B = $\sqrt {3}$,又
∵B ∈ (0,π),
∴B = $\frac {π}{3}$
(2)
∵B = $\frac {π}{3}$,由S△ABC = $\frac {1}{2}$acsin B = $\frac {\sqrt {3}}{4}$,得ac = 1.
在△ABC中,由余弦定理,得b² = a² + c² - 2accos B = (a + c)² - 3×1,
∴a + c = 2,
∴△ABC的周长为3.

1. 钝角$\triangle ABC$的面积是$\frac{1}{2}$，$AB = 1$，$BC = \sqrt{2}$，则$AC =$ (B)

A.$5$
B.$\sqrt{5}$
C.$2$
D.$1$

答案： 1 B
∵S△ABC = $\frac {1}{2}$acsin B = $\frac {1}{2}$·$\sqrt {2}$·1·sin B = $\frac {1}{2}$,
∴sin B = $\frac {\sqrt {2}}{2}$,
∴B = $\frac {π}{4}$或$\frac {3π}{4}$. 当B = $\frac {π}{4}$时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.
∴B = $\frac {3π}{4}$,根据余弦定理,得b² = a² + c² - 2accos B = 5,
∴b = $\sqrt {5}$,故选B.

2. 在$\triangle ABC$中，已知$\frac{a + c}{\sin A + \sin C} = 2$，则其外接圆的直径为 (B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 2 B 由正弦定理,得a = 2Rsin A,c = 2Rsin C,
∴$\frac {a + c}{sin A + sin C}$ = $\frac {2R(sin A + sin C)}{sin A + sin C}$ = 2R = 2,故选B.

3. 在$\triangle ABC$中，$A = 120°$，$b = 5$，且$\triangle ABC$的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$，则$\triangle ABC$的周长为 (A)

A.$15$
B.$12$
C.$16$
D.$20$

答案： 3 A 因为A = 120°,b = 5,且△ABC的面积为$\frac {15\sqrt {3}}{4}$,所以S△ABC = $\frac {1}{2}$bcsin A = $\frac {1}{2}$×5c×$\frac {\sqrt {3}}{2}$ = $\frac {15\sqrt {3}}{4}$,解得c = 3,由余弦定理a² = b² + c² - 2bccos A = 5² + 3² - 2×5×3×(-$\frac {1}{2}$) = 49,所以a = 7,故C△ABC = a + b + c = 15. 故选A.

4. 在$\triangle ABC$中，三边长分别为$a - 2$，$a$，$a + 2$，最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则这个三角形的面积为 (B)

A.$\frac{15}{4}$
B.$\frac{15\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{21\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{35\sqrt{3}}{4}$

答案： 4 B
∵三边不等,
∴最大角大于60°.设最大角为α,
∵sin α = $\frac {\sqrt {3}}{2}$,
∴α = 120°.由余弦定理得,(a + 2)² = (a - 2)² + a² - 2a(a - 2)cos 120°,即a² = 5a,故a = 5,
故三边长分别为3,5,7,S = $\frac {1}{2}$×3×5×sin 120° = $\frac {15\sqrt {3}}{4}$.

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$B = C = 120°$，$AB = 4$，$BC = CD = 2$，求该四边形的面积.

答案： 5 连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定理得BD = 2$\sqrt {3}$,S△BCD = $\frac {1}{2}$BC·CDsin 120° = $\sqrt {3}$,∠ABD = 120° - 30° = 90°,所以S△ABD = $\frac {1}{2}$AB·BD = $\frac {1}{2}$×4×2$\sqrt {3}$ = 4$\sqrt {3}$,所以S四边形ABCD = $\sqrt {3}$ + 4$\sqrt {3}$ = 5$\sqrt {3}$.